FORMULE DE MOIVRE. 
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un sens concret et représenteront de vraies relations arithmétiques 
entre quantités. 
Tous ces développements, utiles pour bien faire comprendre com 
ment le symbole imaginaire \J — i permet d’indiquer simplement cer 
taines relations assez compliquées entre quantités réelles, conduisent 
donc à la formule générale, qu’ils expliquent suffisamment, 
cos (u — i sin ( u -+- v -+- w -+-. ..) 
= (cos U -1- /— I sin u) (cos V -+- \J I sin v) (cos W -H f — i sin w) 
Celle-ci, quand les arcs u, c, w, . . ., supposés au nombre de m, y 
deviennent égaux, se réduit à la suivante, dite formule de Moivre, 
(21) cos mu 4- f — x sin mu — (cos u -+- f — 1 sin u) m , 
qui contient, comme on voit, les expressions du cosinus et du sinus 
d’un multiple quelconque mu d’un arc u en fonction algébrique et 
entière du cosinus et du sinus de cet arc. Or, dans le second membre 
de (21), l’effectuation des calculs (y compris la réduction des termes 
semblables) se fera évidemment par le même mécanisme qui a conduit 
à la formule de la m lème puissance du binôme, et elle donnera 
/—- , • m(m — t) / , \o 
y — 1 cos™ -1 u sm u -+- {y — x) cos™ -2 u si 
Enfin la substitution de — 1 à chaque couple de facteurs symbo 
liques f— x et le groxxpement, d’une part, des termes de degré pair 
en y/— 1, pour en faire l’expression de cos mu, d’autre part, des termes 
de degré impair en \J— 1, pour en faire, après la suppression du facteur 
subsistant y— x, l’expression de sinmxx, dédoubleront bien cette for 
mule symbolique (21) en deux, parfaitement concrètes, qui sont les 
formules cherchées de cos mu et de sinwixx : 
?n{m — il 
cos mu = cos™ u — -— — cos™ -2 u sm 2 u 
(22) 
m{m~ i)(m — 2){m —-3) 
x.2.3.4 
cos™ -4 u sm* u — . . ., 
m . . m(m — 1 ) ( m — 2 ) 
sm mu — — cos™ -1 u sm u — — cos™ -3 u sm 3 u 
x 1.2.3 
m( m — 1) ( m — i){m — 3 ) ( m — 4) 
x.2.3.4.5 
cos™ -3 u sm° u — 
Les seconds membres se terminent, comme dans la formule du bi 
nôme, par le terme après lequel la loi évidente de formation des coef-