RAPPORTS AVEC LES LIGNES DES DÉCLIVITÉS MAXIMA OU MINIMA. 2 63* 
qui y figurent, suivi de la multiplication des résultats par la puissance 
| de i+/? 2 + q 2 . 
Les deux égalités (20) constituent des conditions non seulement 
nécessaires, mais, de plus, suffisantes, pour qu’un point de la surface 
soit un ombilic; car, dés qu’elles sont vérifiées, les équations (ig) se 
troment, quel que soit y , eflectivement compatibles, et donnent à 
z { —z une valeur constante, inverse des trois rapports égaux (25). 
Toutes les sections normales menées en {x, y, z) ont donc leurs 
cercles osculateurs égaux, formant ensemble une sphère osculatrice 
à la surface; ce qui indique bien que cette dernière est sensiblement 
de révolution dans le voisinage du point considéré (x, y, z). 
Les ombilics font partie des lignes des déclivités maxima ou mi- 
nima; car, les normales a la surface dans une étendue infiniment pe 
tite tout autour aboutissant au centre de la sphère osculatrice (à des 
écarts près du second ordre de petitesse), Je plan vertical de l’une 
d'elles, menée à partir de l’ombilic, peut être censé en contenir une 
seconde, issue de l’extrémité de l’élément de ligne de pente émané 
aussi de l’ombilic; ce que nous savons (p. 288*) caractériser parfaite 
ment les Lignes des déclivités maxima ou minima. Aussi la double 
proportion (20) entraîne-t-elle la vérification de l’équation (87) 
[p. 289*] des lignes dont il s’agit, et qui consiste dans l’égalité du 
second rapport (25) à celui qu’on forme en retranchant respective 
ment des termes du premier ceux du troisième. Il suit de là, et de la 
propriété de maximum ou minimum qui nous a servi à définir ces 
lignes (p. 287*), que la déclivité langy de la surface a sa différen 
tielle, le long d’une ligne de niveau z — const., nulle à partir de tout 
ombilic; ce qui revient à y écrire dy — o ou encore dcosy o, quand 
; ne varie pas. Et comme la direction de la verticale pourrait être 
aussi bien prise pour celle ou des ¿r, ou des y, que pour celle des ~ 
on aura plus généralement, à tout ombilic, en appelant cosa, cosp, 
cosy les cosinus directeurs de la normale, les trois égalités 
(26 bis) d( cosa, cos ¡3, cosy) = o (pour x, ou /, ou z constant), 
dont les deux premières sont évidemment identiques à (26) ou, par 
suite, équivalentes à (2 5). 
Les deux équations (25) ne contiennent que deux inconnues dis 
tinctes, savoir, les coordonnées indépendantes ¿c, y, dont les dérivées 
p, q, /■, s, t de z —f(x, y) sont des fonctions données : il arrivera donc 
fréquemment qu’elles admettront un certain nombre de solutions ; et 
alors la surface possédera tout autant d’ombilics. Quelquefois, la 
forme de la fonction f{&, y) sera telle, qu il suffira de vérifier une des