264* ombilics; propriété de la sphère.
deux équations (a5) pour que l’autre soit satisfaite d’elle-môme; et,
alors, une seule relation entre x et y exprimera l’existence d’un om
bilic. Il y aura donc sur la surface toute une ligne d’ombilics : on
l’appelle ligne ombilicale ou encore ligne des courbures sphériques
de la surface, pour rappeler que celle-ci y comporte en tous les
points une sphère osculatrice.
Enfin la sphère est la seule surface dont l’ordonnée z vérifie idenli
quement les deux équations (25) ou dont tous les points soient des
ombilics, comme Monge l’a reconnu le premier. On le voit de suite
en observant que les trois relations (26 bis), alors satisfaites sur
toute l’étendue de la surface, astreignent cosa, cosp, cosy à être trois
certaines fonctions de la seule coordonnée correspondante x, ou y,
ou z. Si l’on appelle X, Y, Z ces trois fonctions, la relation concer
nant la somme des carrés des trois cosinus donnera, comme équation
de la surface, X 2 +Y 2 -f- Z 2 —ï. Or on sait (p. 5q*) que les dérivées
en x, y, z du premier membre de celle-ci, savoir 2XX', 2YY', iTJL,
sont proportionnelles aux cosinus directeurs, X, Y, Z, de la normale;
ce qui donne X , = Y'=Z'. Et comme X' ne peut pas plus dépendre
de y et z, que Y' de z et x, ou que Z' de x et y, leur valeur commune
sera une même constante, p; d’où, en désignant par A, B, G d’autres
constantes, X= —p—5 Y == ———, Z — - p G Enfin, l’équation
X*H-Y*-h Z- = i deviendra bien celle d’une sphère,
{x — A)5-t-(j— B)2+(^_C) 2 = R2.
Un exemple simple de l’emploi des relations (25) consiste à cher
cher les ombilics d’un ellipsoïde dont les trois demi-axes a, b, c, ran
gés par ordre de grandeur décroissante, sont pris pour axes respectifs
des coordonnées x, y, z. Mais il est encore plus simple d’v observer
que toutes les sections de cette surface du second degré, grandes ou pe
tites, parallèles à un même plan tangent, sont des coniques semblables ;
en sorte que, dans le cas d’un plan tangent mené à un ombilic, elles se
réduisent à des cercles, comme l’indicatrice correspondante image des
sections infiniment petites. Ces sections constituent donc un des deux
systèmes des plans cycliques de l’ellipsoïde. Ainsi, la surface admet
quatre ombilics, situés aux extrémités des deux diamètres conju
gués aux plans cycliques, diamètres ayant, comme on sait, leurs
quatre angles bissectés par les deux axes extrêmes 2a, 2c de l’el
lipsoïde.