CALCUL DES DIRECTIONS ASYMPTOTIQUES.
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19b*. Calcul des directions asyniptotiques pour les divers points
d’une surface.
Cherchons enfin, pour chaque point {x, y, z) de la surface que
définit, en coordonnées rectilignes quelconques, une équation de
la forme z —f(x, y), les directions cisymptotiques, suivant les
quelles la surface est coupée par son plan tangent. Appelons x u
y u -i les coordonnées d'un point de la surface voisin de (x, y, z),
et nous aurons, par la formule de Taylor appliquée à la fonction
*i=/(-*à> Ji) =/l> + (*! — *), 7+ {fi —f)],
zi—z=p{xi — x) -+- q{y l — y)
■+-S [ r i X l— Vf+ÏSÎXi — x){y l -y)^-t{y l — 7 )2] + ....
Ce point devant, ici, vérifier en outre l’équation du plan tangent
(28j -i — Æ = p(x l ~ x) y),
la différence des deux relations (27), (28) donnera, en x y et y lf l’équa
tion de la projection, sur les xy, de l’intersection de la surface et
du plan :
(29) \[r(x 1 — 07)2+ 2i(07 1 — &){fl — y) + i(7i— y)-] + • . • = 0.
Admettons actuellement que le point {x it y x , Zy) soit infiniment
proche de (x, y, .s), ou réduisons l’arc de courbe qui joint ces deux
points à un simple élément rectiligne, dont les projections (rectan
gulaires ou obliques) sur les axes, x t — x, y x — y, z t — s, seront de
simples différentielles dx, dv, dz des coordonnées le long de cet arc.
La relation (29) divisée par idx % deviendra, en appelant encore y'
le rapport de dy à dx qui définit la direction suivie, et en supprimant
les termes qui s’évanouissent,
(30) r -+- 2Sy’-+- ty' 2 = o.
Telle est l’équation du second degré dont les deux racines sont les
coefficients angulaires des deux directions asymptotiques, pour le point
{x, y, z), projetées sur le plan des xy. Ces racines ne sont réelles
qu’autant que l’on as 2 —rt > o, comme on pouvait le prévoir, du
moins dans le cas d’axes rectangles, en observant que l’expression
(24) [p. 262*] du produit des deux courbures principales est, alors
et seulement alors, négative, comme il le faut pour que la surface ait
ses deux courbures de sens opposés et coupe son plan tangent.