ASYMPTOTIQUES, DANS LES SURFACES COURGES. 2 5 y * 
c’est-à-dire avec celles suivant lesquelles la surface est coupée parle 
plan tangent mené au même endroit. Les courbes ainsi décrites sont 
appelées les lignes asymptotiques de la surface. D’après ce qui a été 
dit dans la Leçon précédente (p. 253* et 266*) sur les directions 
asymptotiques, il passe deux de ces lignes par chaque point de la sur 
face, et les quatre angles qu’elles y forment sont bissectés par les 
lignes de courbure s’y croisant. 
Les lignes asymptotiques ont pour plans osculateurs les plans tan 
gents mêmes de la surface. Celle-ci, en effet, aux environs de son point 
de contact avec un de ses plans tangents, s’écarte, par raison de con 
tinuité, infiniment moins vite de ce plan, quand on s’y éloigne du 
point de contact langentiellement à la ligne commune à la surface et 
au plan, que lorsqu’on s'en éloigne suivant une direction quelconque. 
Donc les petits écarts de la ligne asymptotique d’avec le plan tangent 
sont d’un ordre de petitesse supérieur au second, ou incomparable 
ment plus faibles que ceux que présentent les courbes de la surface, 
simplement tangentes au plan, menées dans d’autres directions; et 
l’on sait que le seul plan avec lequel une courbe donnée présente 
des écarts d’un ordre de petitesse plus élevé que le deuxième, est 
le plan osculateur de cette courbe. Or il suit de là, si l’on consi 
dère la courbure des lignes asymptotiques, que ces lignes entrent dans 
le cas d'exception (p. 258*) où le théorème de Meusnier devient il 
lusoire. 
La relation (3o) [p. 26.0*] de la dernière Leçon est évidemment 
l’équation différentielle des lignes asymptotiques, ou plutôt de leur 
projection sur le plan des xy, projection dont cette relation donne le 
coefficient angulaire y' en fonction des coordonnées x, y de chaque 
point; et, déterminant de proche en proche la direction de ces lignes, 
elle permettra de les obtenir, de même que l’équation (21) fera con 
naître les lignes de courbure. Mais on peut quelquefois, par des con 
sidérations plus directes, se rendre très simplement compte de leur 
forme générale. 
Par exemple, à la surface d un tore dont la circonférence généra 
trice a son centre à une distance donnée a de 1 axe de révolution, les 
deux ravons de courbure principaux, sur tout parallèle d un layon t- 
moindre que a, ou en tout point situé à cette distance v de 1 axe, sont 
de sens opposés, et menés, suivant la normale au cercle méiidien 
correspondant, l’un, R, de ce point au centre du cercle, 1 autie, R , 
du même point à l’axe de révolution ou des Z] et ces deux xayons 
sont entre eux comme leurs projections respectives a ett sur le 
plan des xy. D’après la formule (5) [p. 2o3 ] de la demièie Leçon,