IDÉE DES LIGNES ASYMRT. DU TORE. LIGNES DE COURBURE 
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la tangente de l’angle fait sur la surface en ce point, avec le méridien, 
par les deux lignes asymptotiques, sera d’où ré 
sulte pour le sinus du même angle, ou pour le cosinus de l’angle com 
plémentaire sous lequel les lignes asymptotiques coupent les paral 
lèles, la valeur \/r Ce dernier angle, nul sur les deux parallèles de 
rayon a, cercles de contact des deux plans tangents perpendiculaires 
à l’axe de révolution, croît donc graduellement jusqu’à une certaine 
limite à mesure que la ligne asymptotique considérée, d’abord tan 
gente à l’un de ces parallèles, s’en éloigne en se rapprochant de l’axe, 
pour décroître de nouveau quand, après la traversée du parallèle de 
rayon minimum (dit cercle de gorge), elle s’écarte de l'axe en se rap 
prochant de l’autre cercle de contact; et ainsi de suite. Les lignes 
asvmptotiques oscillent ainsi d’un cercle de contact à l’autre et cou 
vrent la portion du tore comprise, du côté de l’axe, entre ces deux 
cercles, qui sont leur enveloppe commune sur la surface. 
199*. — Théorème de Ch. Dupin, sur les lignes de courbure d’un système 
triple orthogonal de surfaces. 
Un théorème aussi simple que remarquable, découvert au commen 
cement de ce siècle par le géomètre français Charles Dupin, fait con 
naître immédiatement les lignes de courbure de toute surface appar 
tenant à un système triple orthogonal, c’est-à-dire à trois familles 
associées de telle manière qu’il passe, par chacun de leurs points, une 
surface de chacune d’elles, et que ces trois surfaces y aient leurs plans 
tangents mutuellement rectangulaires. Il s’énonce en disant que toute 
surface de Vune quelconque des trois familles est coupée par les 
surfaces des deux autres familles suivant ses propres lignes de cour 
bure. 
Pour le démontrer, rapportons les surfaces à un sjstème d’axes 
rectangles des x, y, z, et soient respectivement p — const., pj = const., 
P2 — const. les équations des trois familles, p, p 1? p 2 désignant ainsi, 
tout à la fois, trois fonctions données de x, y, z et les paramètres 
caractéristiques des trois familles. Nous admettrons que, par chaque 
point (x,y, z) de l’espace ou, tout au moins, d’une certaine étendue 
à trois dimensions, il passe une surface de chaque famille que, pour 
abréger, nous appellerons la surface p, ou la surface p t , ou la surface 
p 2 . Nous savons (p. 5g*) que les cosinus directeurs de la normale à 
la première seront les quotients, par le paramètre différentiel Ajp, des