p’UN SYSTÈME TRIPLE ORTHOGONAL DE SURFACES. 271* 
trois deinees pai tu lies tn ,c, y , cio la fonction p, et que, de même 
ceux des normales aux deux autres seront les rapports à Ajp t elà Aj0 2 
des dérivées partielles premières de pj et de p 2 . La condition de per 
pendicularité des deux surfaces p 1} p 2 , exprimant Légalité à zéro du 
cosinus de l’angle des deux normales correspondantes (somme des trois 
produits de leurs cosinus directeurs respectifs) sera donc, vu les va 
leurs généralement finies des paramètres différentiels A t p 4 , A,p 2j 
cht dp 
(0 
Pi ap 2 dp ! dp.2 dpi dp* 
dx dx dy dy dz dz 
et elle devra, comme les deux conditions analogues concernant les 
normales aux surfaces p 2 , p et aux surfaces p, p t , être vérifiée identi 
quement, c’est-à-dire pour tous les systèmes possibles des valeurs de 
x,y, z qui correspondent à des points voisins du proposé. On peut 
donc la différentier, par exemple, en x, à cause de la continuité de 
variation que présenteront, d’un point à l’autre, les cosinus directeurs 
des normales, les paramètres Aj de p, p lf p 2 et, par suite, les dérivées 
premières de ces trois fonctions p, p,, p 2 . Il viendra 
(2) 
dpi d î pi dp2 d- p 1 dpi d 1 p 2 dp*, d' 1 p¡ 
dx dx 2 dx dx 2 dy dx dy 
dpi d' 1 p 2 
dz dz dx 
dy dx dy 
dpi d' 1 pi 
dz dz dx ° ’ 
Fi: 
et des relations analogues à celle-là s’obtiendront en différentiant de 
même en y et u les deux autres conditions de perpendicularité. 
Or admettons qu’on veuille considérer les sections principales des 
surfaces p, p,, p 2 en un point particulier quelconque M de 1 espace; 
et, les formules précédentes subsistant quelle que soitl’orientation des 
axes coordonnés, choisissons, pour ceux-ci, 
les trois normales correspondantes Mo?, Mjy, 
Ms, qui sont les intersections, respective 
ment perpendiculaires aux surfaces p, pi, p 2 , 
des plans tangents aux surfaces p t et p 2 , p 2 et 
p, p et p t , et qui, par conséquent, ne diffèrent 
pas des tangentes aux trois courbes respec 
tives MA, MB, MC suivant lesquelles se cou 
pent deux à deux ces trois surfaces. La fonc 
tion p, constante sur toute l’étendue de la 
première surface BG, aura pour dérivées 
premières, en M, d’une part, son paramètre différentiel A x p, dans le 
sens normal Mx, et, d’autre part, zéro dans les sens tangentiels Mj et 
y 
mm* 
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