THÉORÈME DE Cil. DUPIN. CONDITION POUR Qü’UNE FAM. DE SURF. 
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Ms. On aura donc, en M, 
(3) 
dp 
— A ip, 
dp 
dx 
d{y, z) ' 
et, 
de même, 
dp 1 
= A ip1? 
dpi 
dy 
d{z, x) 
= o; 
<ip 2 
y) 
Grâce à ces valeurs des dérivées premières, la formule (2), et les 
deux autres analogues où p 2 et p, p et p 1 remplacent pj et p 2 , devien 
nent, pour Je point M, si on les divise respectivement par les produits 
(A 1 p I )(A 1 p 2 ), (A,p 2 )(Ajp) et (A 1 p)(A 1 p 1 ) différents, en général, de 
zéro, 
1 d 2 pi i ¿/ 2 p 2 
Aj pi dz dx ' A] p 2 dx dy ’ 
1 dr-Oc, 1 d 2 p 
L^_ !— — Q 
Ai p 2 dx uy A] p dy dz 
1 d % p 1 c/ 2 p ! 
A! p dy dz Ai pi dz dx 
d^Pi 1 ¿/ 2 p 2 , , . , 
■7 >■—t —j—G- égalé zéro; et si, de celte somme 
Ai pi dz dx Aip, dx dy 0 
Ces trois relations, ajoutées, montrent que la somme des trois termes 
t d 2 p 1 
Ai p dy dz 
nulle, on retranche successivement les premiers membres de (4), on 
verra que, Aj(p, p t , p 2 ) n’étant pas infinis, ces équations (4) revien 
nent à poser 
d^p _ d-pi <^ 2 Pî 
(5) 
(au point M) 
dy dz 
dz dx 
= o, 
dx dy 
Or celles-ci expriment justement que M y et Ms, Ms et M x, M# 
et M y sont les tangentes principales, en M, des surfaces p, p t , p 2 . En 
effet, la première relation (5), par exemple, signifie que, dans les sens 
respectifs de M y et de Ms, les deux dérivées premières et ~ ont, 
en M, leurs propres dérivées égales à zéro. Donc ces deux dérivées pre 
mières, milles en M, ne varient dans le voisinage, le long de M y ou 
de Ms, que d’infiniment petits d’un ordre supérieur au premier, et, 
par conséquent, les cosinus directeurs -y des normales 
Ai p dz Aj p dy 
à la surface p sont de cet ordre supérieur de petitesse en deux points 
pris, à une distance du premier ordre de M, dans les plans respectifs 
xMy, xMz ou, l’un, sur M y, l’autre, sur Ms, à des écarts près du se 
cond ordre. C’est bien dire qu’il suffirait de changements de direction