APPARTIENNE A UN SYSTÈME TRIPLE ORTHOGONAL. 2 3* 
négligeables à côté des angles de contingence, pour que ces deux nor 
males devinssent respectivement perpendiculaires à Ms ou à Mp, et 
fussent contenues dans le plan xMj ou ¿cMs mené parleur pied sui 
vant la première normale Mx. Le théorème est donc démontré. 
200*. — Toute surface, mais non toute famille de surfaces, fait partie 
d’un système triple orthogonal. 
On déduit de là qu’une famille quelconque donnée p = const. de 
surfaces n’est pas propre à faire partie d’un système triple orthogonal. 
Comme, sur toute surface qui coupera cette famille à angle droit, les 
lignes perpendiculaires aux intersections seront évidemment normales 
à la famille et appartiendront ainsi à la catégorie des courbes de l’es 
pace menées orthogonalement, en partant de points quelconques, 
à travers toutes les surfaces pr= const., il est clair que des sur 
faces p, = const., p 2 = const. rectangulaires à celles-ci p — const. et 
entre elles ne pourront manquer, lorsque elles existeront, de se com 
poser de pareilles trajectoires orthogonales à la famille proposée, 
obtenues, de proche en proche, en marchant normalement à toutes 
les surfaces p —const. que l'on traverse, ou de manière que les 
différentielles dx, dy, dz des coordonnées y soient partout propor- 
lionnelles à 
dp dp dp 
dx' dv’ d: 
Il faudra donc, pour construire les surfaces 
p,= const., p,—const., associer ensemble celles d’entre ces trajec 
toires orthogonales à la famille p = const. qui partiront des divers 
points d'une même ligne de courbure d’une première surface consi 
dérée p = const. Or, en général, il est infiniment peu probable que 
deux surfaces p,=r const., p 2 = const. ainsi obtenues, ou se coupant 
à angle droit au point de départ de leur intersection, continuent, 
d’elles-mêmes, à se couper aussi à angle droit tout le long de cette 
ligne. Donc la famille proposée p = const. devra satisfaire à une cer 
taine condition, ou la fonction p de x, y, z présenter dans sa forme 
quelque chose de particulier, pour qu’on puisse lui associer deux 
autres familles p, = const., p s = const. la coupant et se coupant mu 
tuellement à angle droit (*). 
(’) M. Ossian Bonnet a démontre que la condition dont il s agit revient à une 
certaine équation, fort compliquée, entre les dérivées partielles des trois pre 
miers ordres de la fonction p. 
Voici une manière simple, remarquée par M. G. Darboux, de le reconnaître. 
Imaginons d abord que l’on forme, en fonction des dérivées premici es et secondes 
de p, les expressions des cosinus directeurs, que j appellerai K, L, M, des lignes de 
B. — I. Partie complémentaire. 1 ^