1^* ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ A TROIS RACINES 
et it, l’équation que donne ainsi la première formule (22), 
3 cos a 
cos a — x 6 
3a?(i — x % ') 
est précisément celle à laquelle se ramène la plus générale du troisième 
degré débarrassée de son second terme 
X 3 : 
3 k 
% A 2 X- y A 3 : 
4 4 
(où qz -7 A 2 et 
4 
k 
- A 3 sont deux coefficients quelconques), lorsqu on 
4 
3 k 
y pose X —k.x, ce qui la réduit à x 3 qz - x — - — o, et lorsqu’on admet 
4 4 
qu’elle a trois racines (réelles). En effet, cette dernière condition 
implique d'abord que le second terme de l’équation soit —| x et 
3 k 
non -+-j x; sans quoi le premier membre, x 3 -h- -x — - , croîtrait évi 
demment toujours avec x et, allant de —co à h-00, ne passerait 
qu’une fois par zéro. Mais elle implique de plus que k soit compris 
entre —i et H-1 ou soit bien de la forme cosa; car, si l’on pose 
/ (x) = x 3 — -, x — j, la dérivée f (x) = 3 (x 1 — - 
4 4 V 4. 
x variant de — 00 à —~ et de j à co, négative pour x compris entre 
— Y et j, montre que f{x), négatif pour x= — co et positif pour 
x = co, s’annule trois fois à la condition nécessaire et suffisante de 
s’annuler une dans chacune de ses trois périodes ou alternatives 
d’accroissement ou de décroissement, c’est-à-dire pourvu qu’on ait 
positive pour 
f[ — ki> oel f 
<. o, ou bien |^vu que / 
k 
k 
< i 
et k > — 1. Ainsi, toutes les équations du troisième degré qui ont trois 
racines (réelles) peuvent se ramener à celle-ci, x 3 — - x — cos -— — o, 
4 4 
dont les solutions sont 
a a ■+■ 2 tz a -t- S 
x=cos-, x — cos — et x = cos —i- • 
o 3 3 
Dans le cas où m est un nombre pair 2 n, l’expression (22) de cos mu 
ne contient cosa que par ses puissances paires et, en y substituant 
1 — sin 2 u à cos 2 u, elle devient un polynôme du m ième degré en sin a 
ou, plutôt, du « leme degré en sin 2 a. Si l’on remplace alors, dans la 
première formule (22), cos mu par cosa et sin a par x, l’équation du 
2/i lème degré en x ainsi formée admet évidemment toutes les solutions