Зоб* LIGN. GÉOD. : NORMALITE, Л LA SURF., DE LEURS PLANS OSC. 
plus faible que dz 2 et de l’ordre même des petites variations éprouvées 
par dz 2 d’une courbe à l’autre, c’est dans le second cas que ds se trou 
vera le plus petit. Cela étant vrai pour tous les éléments ds de l’arc 
OMA, l’arc OMA tout entier ne pourra atteindre sa moindre valeur 
que si les rapports d’autant de différentielles consécutives dy que l’on 
voudra, en partant du point O, aux différentielles dz correspondantes, 
y sont infiniment voisins de zéro ; d’où il suit que le nouveau rap 
port -, formé par leur addition terme à terme, se trouvera lui-même 
infiniment petit, car tous les dz sont évidemment de même signe quand 
on va de O vers A, et l’on peut appliquer un théorème connu (note de 
la p. 12). Cela revient à dire que Гаге OMA, s’il appartient à une 
ligne géodésique, ne s’éloignera du plan zOx qu’à des distances y 
négligeables par rapport à ses écarts du second ordre, z, d’avec le plan 
tangent x O y ; et, comme tout plan qui fait, en un point donné O d’une 
courbe, un angle fini avec le plan oscillateur correspondant, s’écarte 
de celle-ci de quantités dont l’ordre de petitesse ne dépasse pas le 
second, il faut en conclure que le ¡dan zOx fera un angle infiniment 
petit avec le plan osculateur en O à la ligne géodésique. Donc, à la 
limite, c’est-à-dire quand le point A, se rapprochant de O sur la ligne 
géodésique, viendra se confondre avec O, le plan z O oc, sans cesse 
normal à la surface en O, y sera bien finalement osculateur à cette 
ligne. 
Ainsi, deux éléments consécutifs d’une ligne géodésique sont tou 
jours dans un même plan avec la normale menée à la surface au point 
intermédiaire. Or il est évident qu’on peut, à partir d’un point quel 
conque de toute surface, tirer une infinité de pareilles lignes, généra 
lement gauches, savoir, une suivant chaque direction comprise dans 
le plan tangent au point donné; mais que, leur premier élément une 
fois choisi, tous les autres s’ensuivent d’ordinaire, déterminés qu’ils 
sont de proche en proche, sur des longueurs infiniment petites, par 
les intersections de la surface et des plans normaux menés, chaque 
fois, au point où l’on est arrivé, suivant l’élément précédemment 
construit. Et comme ces lignes issues d’un même point divergeront, 
en général, de plus en plus tout autour, une seule, presque toujours, 
ira passer par un second point arbitraire, du moins si la surface est 
ouverte; de sorte qu’il existera bien sur la surface, entre deux points 
pris à volonté, une ligne parfaitement déterminée de longueur mi- 
nima. 
Sur la sphère, cette ligne se trouvera tout entière dans un même 
plan diamétral, ou sera une portion de grand cercle; car deux nor-