LIGNES GÉODES. DANS UNE SPHÈRE, DANS UNE SURF. DÉA r ELOPPABLE. 807* 
males consécutives, venant concourir au centre, ne détermineront 
avec l’élément intermédiaire de ligne géodésique, pour fixer la direc 
tion des deux éléments précédent et suivant, qu’un seul plan, oscil 
lateur dès lors pour deux points de la ligne voisins et, par suite, de 
proche en proche, pour tous. De môme, sur une surface plane, les 
normales consécutives, toutes parallèles, auront leurs pieds alignés 
dans un même plan normal, et la ligne géodésique sera une droite. 
210*. — Application aux surfaces développables; rayon de courbure 
des hélices. 
Quand il s’agit d’une surface développable, toute ligne géodésique 
devient une simple droite dans le déroulement de la surface (sans 
quoi elle serait, entre deux de ses points, moins courte que la courbe 
à transformée rectiligne les joignant) ; et l’angle, que j’appellerai y, 
sous lequel, ainsi rectifiée, elle coupe les génératrices successives, 
varie évidemment, entre une génératrice et la suivante, de l’angle 
même que font mutuellement celles-ci, c’est-à-dire de l’angle de con 
tingence de l’arc intercepté par elles sur l’arête de rebroussement. 
D’ailleurs cet angle de contingence, formé par deux génératrices suc 
cessives, est pareil dans l’arête de rebroussement et dans sa trans 
formée plane, comme on a vu à la p. 217*; ce qui montre que les dé 
formations d’une surface par simple flexion n’y changent pas plus 
l’angle de deux lignes voisines que leurs longueurs, même dans ce 
cas limite où il s’agit de l’angle infiniment petit des directions de 
deux génératrices qui ne se rencontrent pas sur la nappe continue à 
considérer, ni, en toute rigueur, hors de ce champ. Et, de môme, 
c’est-à-dire en vertu du principe de la conservation des angles, mais 
appliqué au cas, où il se trouve évident, de deux lignes se coupant 
sur la surface, l’inclinaison de la ligne géodésique par rapport à une 
génératrice quelconque est précisément, sur la surface courbe, celle 
qui s’y observe après le développement sur un plan. 
Si donc on suppose donnés les angles de contingence successifs de 
l’arête de rebroussement, toute ligne géodésique aura sa direction sur 
la surface, à la rencontre des diverses génératrices, parfaitement 
définie, dès que l’on connaîtra l’angle arbitraire sous lequel elle cou 
pera la première génératrice; et cette ligne sera déterminée ou pourra 
être construite de proche en proche. 
Comme sa normale principale, en un point quelconque 
coïncidera avec la normale môme de la surface, son rayon de cour 
bure, que j’appellerai p, sera donné par la formule d’Euler, (11), dé-