3ü8* COURBURE DES LIGNES GÉOD. DANS UNE SURF. DÉVELOPPABLE 
montrée dans la dernière Leçon [p. 256*]. Il suffira d’observer qu’ici 
la courbure principale de la surface au point (x, y, z), dans le sens 
de la génératrice suivant lequel la normale a une direction constante, 
se trouvera nulle, et que, par suite, en appelant R le rayon de cour 
bure en (x, y, z) de la section normale faite par un plan perpendi 
culaire à la génératrice ou tangent à la ligne de courbure non recti 
ligne, on aura simplement 
i sin 2 v 
(5=0 
puisque la tangente à la courbe géodésique considérée fera l’angle 
complémentaire de y avec cette unique section principale dont la cour 
bure ne soit pas égale à zéro. Remarquons, à ce propos, que l’indica- 
X 2 Y 2 , . , X 2 
trice, ajant son équation -y- + —, i réduite à yy —± i pari hy 
pothèse R' = i±=oo, se composera de deux parallèles à la génératrice. 
Quand la surface se réduit à un cylindre, que nous supposerons, 
pour fixer les idées, avoir ses génératrices verticales, les lignes géo- 
désiques, dont les transformées planes sont des droites, prennent le 
nom d'hélices, et coupent sous un même angle y toutes les généra 
trices, qui, sur la surface déroulée, sont de simples parallèles, La 
pente coty de ces hélices est donc constante. Je la désignerai par m\ 
ce qui donnera pour l’inverse de sin 2 y la valeur i h- 7?i 2 . Et la formule 
(62) se changera en celle-ci : 
(53) 
P = (i -+- w 2 )R, 
dans laquelle R sera évidemment le rayon de courbure de la section 
droite, ou de la base du cylindre, à son intersection par la génératrice 
considérée. Donc, en tout point d’une hélice tracée sur une surface 
cylindrique quelconque, le rapport du rayon de courbure de cette 
courbe, au rayon de courbure de la section droite du cylindre, 
excède Vunité d 1 une quantité égale au carré de la pente constante 
de Vhélice par rapport à la base du cylindre. 
Observons que l’on aurait pu, du fait que cette pente est constante 
ou que le cosinus de l’angle y de la tangente avec l’axe des z a sa dé- 
xfivée nulle, déduire la perpendicularité de la génératrice à la normale 
principale et, par suite, vu d’ailleurs la perpendicularité de l’hélice à 
cette normale principale, conclure la normalité de celle-ci à la surface 
même. En effet, les cosinus directeurs de la normale principale étant 
proportionnels, dans toute courbe (p. 2io*), aux dérivées premières 
de la tangente, il suffit que 
des trois osinus directeurs 
dx 
ds ' 
dy dz 
ds ’ ds