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COURBURE GÉODES. DES LIGNES DUNE SURFACE. 
possible. Cela résulte du théorème de Meusnier (p. aSy*), eu vertu 
duquel toute ligne tracée sur une surface, tangentiellement à une 
droite donnée, a sa courbure, en son point de contact avec la droite, 
d’autant plus petite que son plan osculateur y fait un angle moindre 
avec la normale à la surface; de sorte qu’elle diffère aussi peu que 
possible d’une droite quand ce plan contient la normale. 
La propriété caractéristique des lignes géodésiques s’énonce aussi 
en disant que leur courbure géodésique est nulle; car on appelle, en 
général, courbure géodésique d’une ligne tracée sur une surface, la 
courbure de sa projection sur le plan tangent mené à la surface au 
point considéré, ou, autrement dit, la courbure telle qu’on l’évalue 
rait, si l’on mesurait, au lieu de l’angle de contingence formé par 
deux éléments consécutifs de la courbe, l’angle dièdre des deux plans 
dirigés suivant chacun de ces éléments et la normale à la surface en 
leur jioint commun. 
212*. — Autres propriétés générales des lignes géodésiques; 
cercles géodésiques. 
La distance minimum, sur une surface, d’un point de cette surface 
à une courbe qui s’y trouve tracée, est représentée par une ligne géo 
désique menée du point à la courbe en question et aboutissant à angle 
droit sur celle-ci. En effet, si elle ne lui était pas noripale, il suffirait 
de diriger autrement son dernier élément oblique, de manière à le 
rendre perpendiculaire à la courbe donnée, pour diminuer sa longueur 
sans le faire sortir de la surface, et pour diminuer ainsi la longueur to 
tale du trajet; ce qui est impossible, puisqu’il n’existe, par hypothèse, 
dans les conditions voulues, aucune ligne plus courte que la proposée. 
De même, la distance minimum, sur une surface, entre deux 
courbes de la surface, est évidemment une ligne géodésique perpen 
diculaire aux deux courbes. 
Imaginons actuellement, avec Gauss, qu’on mène sur une surface, 
à partir des divers points d’une courbe quelconque ABGD ... de 
cette surface, des lignes géodésiques AA', BB', CG',... s’en déta 
chant toutes à angle droit et d’une même longueur très petite. Il est 
clair que ces lignes mesureront les distances minima, sur la surface, 
de leurs extrémités A', B', G', ... à la courbe ABGD . . ., et que, par 
suite, le lieu A'B'G'D'... de ces extrémités sera une nouvelle courbe, 
ayant tous ses points à une même distance minima AA', sur la sur 
face, de ABGD, . .. Or il résulte de là que nulle autre ligne menée 
sur la surface, à partir du point A, par exemple, jusqu’à la rencontre