LIGNES D’UNE SURF. AYANT LEURS NORMALES GÉODÉS. COMMUNES. 3n* 
de A' B'C'D 7 ... et reliant, par conséquent, A 7 B'C'D 7 ... à ABGD... 
ne peut être plus courte que AA'. Donc cette ligne géodésique AA' 
tombe perpendiculairement sur A'B'G'D' . . . ; et, comme il en serait 
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de même de BB 7 , CG 7 , etc., les deux lignes AE, A'E 7 ont, sur la sur 
face, toutes leurs perpendiculaires géodésiques communes, et de 
même longueur dans la bande interceptée AA'E'E. 
On voit que ces lignes AE, A'E 7 sont, sur la surface, les analogues 
des courbes parallèles sur le plan, et que les géodésiques perpendicu 
laires AA 7 , BB 7 , . .. sont les analogues des normales communes à deux 
courbes parallèles. En prolongeant toutes ces lignes géodésiques, de 
manière à leur ajouter de petites longueurs égales quelconques A 7 A", 
B'B 77 , G 7 G 77 ,..., on obtiendra une nouvelle parallèle géodésique 
A"B 77 G 77 . . ., et ainsi de suite, jusqu’à ce que la longueur totale com 
mune des lignes géodésiques issues des points A, B, G, . .. atteigne 
telle valeur qu’on voudra A.a — B b —. . ., si les dimensions de la sur 
face le permettent. 
Dans le cas particulier où la courbe de départ AE se réduit à une 
ligne fermée infiniment petite, c’est-à-dire à 
un point O, les courbes A a, B b, G c, ... de 
viennent les différentes lignes géodésiques O a, 
O b, Oc, . . . qui émanent de ce point, et la 
parallèle obtenue abccle . .. est l’analogue d’un 
cercle, non seulement en ce qu’elle se trouve 
partout à la même distance, sur la surface, du 
centre géodésique O, mais encore parce que 
tous les rayons géodésiques O a, O b, Oc, .. . 
la coupent normalement. 
On voit que la propriété dont jouit tout 
cercle de la sphère, d’avoir ses divers points à une même distance, 
sur la surface, de chacun de ses pôles, et d’être perpendiculaire aux