DE CERTAINES SERIES CONVERGENTES. 
dernière Leçon [p. 40], on trouve pour sa valeur 
21* 
expression dont la limite est l’unité. Par conséquent, les premiers 
membres de (24), quand z est positif, tendent, à mesure que n gran 
dit, à ne pas dépasser respectivement les deux expressions 
i-H 1 
2.3 
4_\ -g 2 
2n -+-1/ 2.3.4.5 
expressions très peu inférieures, dès que n est considérable, aux sé 
ries convergentes 
(25) 
1.2 I.2.3.4 
Z i Z 2 
2.3 ~ r ' 2.3.4.5 
qu’elles atteignent évidemment à la limite. Et non seulement les va 
leurs totales des premiers membres de (a4) tendent ainsi vers (a5), 
mais encore, dans ces premiers membres de (24), supposés ordonnés 
suivant les puissances ascendantes de z, les coefficients s’approchent, 
en nombre de plus en plus grand à mesure que n grandit, de ceux de 
( 25) ; car, en développant par la formule du binôme les facteurs comme 
(i J , on voit que les coefficients des diverses puissances de z y 
sont tous rendus extrêmement petits par le dénominateur n 2 , élevé 
partout à une puissance dont l’exposant égale le nombre des facteurs 
n, n — 1, n—2, ... des numérateurs; ce qui annihile bien, à la 
limite, les fractions correspondantes et les parties de coefficients en 
provenant dans les deux séries que forment alors les premiers membres 
effectués de (24). Ces parties n’ajoutent rien de sensible, quant à la 
grandeur absolue, même aux coefficients très éloignés, où elles s’ac 
cumulent en nombre immense; car, toutes étant positives, leur somme, 
si l’on fait z — 1, sera justement, dans chaque série, ce que la valeur 
même de la série gagne à leur présence, quantité dont on a reconnu 
l’annulation. Ainsi, les produits effectués des facteurs composant les 
seconds membres de (24) tendent, tant dans leur ensemble que consi 
dérés terme à terme, vers les deux séries convergentes (25), lorsqu’on 
y fait croître n indéfiniment.