ront respectivement 
DES FONCTIONS COS X ET SIN X. 
25* 
( 28) / et 
Ordonnés suivant les puissances de £, ils ne donneront évidemment 
pas des développements ayant leurs coefficients aussi forts que ceux des 
séries (25) ; car, pour obtenir, à la limite n = cc, ces coefficients des 
séries (26), il faudrait (comme on l’a vu à la fin du n° 20*, p. 21*) 
multiplier encore les expressions (28) développées, dont tous les 
termes et même toutes les parties de terme ont le signe +, par le 
produit des n — i derniers facteurs des seconds membres de (2/4), 
produits affectés également dans toutes leurs parties du signe + : or 
l’effet de ces multiplications serait évidemment d’augmenter les coef 
ficients des diverses puissances de 
Mais il est aisé de reconnaître que les augmentations dont il s’agit 
là seraient trop faibles pour accroître dans un rapport appréciable 
aucun terme sensible de la série, c’est-à-dire aucun terme d’un rang 
déterminé (ne s’élevant pas sans limite à mesure que n grandit). En 
effet, supposons, pour fixer les idées, z > o, de manière que tous les 
n — i facteurs en question non compris dans (28) soient supérieurs à 
l’unité; et considérons, par exemple, ceux de la seconde formule (24), 
ou de la forme 1 H — ;— • Le sinus qui y figure a avec 
(2/1-1- l) 2 SÎn 2 —*—— 
2B + I 
son arc ^toujours moindre que un rapport supérieur à car le 
rapport d’un arc positif, moindre que à son sinus, croît avec cet 
arc (*) et atteint sa plus grande valeur, - , au moment où le sinus vaut 
1. Si donc, dans le facteur binôme considéré H — ——, 
(2 n-+- I ) 2 sin 2 ■ J 
2« + l 
( l ) On le reconnaît en observant qu’un pareil rapport a sa dérivée, 
sinai— x cosai ... , . „ 
: j positive si son numérateur smæ — ai cos a; lest : or il lest en 
sin 2 ai 
effet, car il s’annule pour x = o et grandit de x = 0 à x — tt, vu que sa propre 
dérivée se réduit à x sin ai et est positive entre ces limites.