COSINUS EX SINUS HYPERBOLIQUES. 
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sera plus grand, il viendra 
(i — s ) 2 _ / i 3 5 ai — i \ 2 
T.i ~ \2 4 6 ’ 1Ì ) 
et, en changeant les membres de place après extraction de leurs ra 
cines carrées, 
(33) 
1 3 5 2 i — I I — £ . 
2 4 6 ■ ‘ ‘ 2 i ~ ’ 
ce qui indique, pour le produit ~ 7 ^ 
——--, long à calculer quand 
i est très grand, la valeur simple, alors approchée (ou ne comportant 
qu’une fort petite erreur relative), 
23*. — Des fonctions hyperboliques. 
Nous avons vu les belles propriétés du cosinus et du sinus résulter en 
grande partie de ce fait, que chacun d’eux est la dérivée de l’autre par 
rapport à l’arc, sauf un changement de signe lorsqu’il s’agit de la dé 
rivée du cosinus. Or il est clair que le même fait, sans ce changement 
de signe, se présentera, et devra entraîner des propriétés analogues, 
dans les deux fonctions qui auront les mêmes développements en série 
(26) que cosx et sin^u, mais avec leurs termes tous du même signe-f-. 
Ces deux fonctions s’appellent respectivement le cosinus hyperbo 
lique et le sinus hyperbolique de Varcx. Leurs expressions en série 
sont donc 
(34) 
, X 2 X* 
cosha? = n 1 r—- 
1.2 i.2.3.4 
. X X z 
smh a? = 1 r- 
1 1.2.3 
X* 
1.2.3.4.5 
Si l’on observe qu’elles contiennent, la première, tous les termes 
communs aux deux développements de e x et de e~ x , la seconde, tous 
les termes de e x qui acquièrent signe contraire dans e~ x , on pourra 
leur donner également les formes finies 
(35) cosha? = \{e x + sinh x — \{e x — e~ x ). 
Sous chacune des deux formes (34) et (35), on reconnaît aisément, 
en prenant leurs dérivées, que l’une quelconque de ces deux fonc 
tions est bien la dérivée de l’autre. 
Pour x — o, leurs valeurs et leurs dérivées sont les mômes que dans 
le cosinus et le sinus ordinaires. Mais, les termes de leurs développe-