3 0 * PROPRIÉTÉS DES COSINUS ET SINUS HYPERBOLIQUES :
rnents (34) grandissant évidemment avec x en valeur absolue et ayant
tous même signe, ces fonctions s’éloignent indéfiniment de zéro en
même temps que x, tandis que, dans le sinus et le cosinus ordinaires,
les changements de signe d’un terme à l’autre empêchent les séries
de dépasser la valeur absolue i et rendent possible leur périodicité.
Le cosinus hyperbolique, fonction paire, grandit de i à oo quand x va
de zéro à ±oo, et le sinus, fonction impaire, grandit de —oo à zéro,
puis de zéro à + oc, quand x croît de — co à zéro et de zéro à + co.
Voyons ce que deviendront dans ces fonctions les diverses propriétés
des sinus et cosinus ordinaires. Et d’abord, si l’on désigne ¡:>ar « la
variable, les carrés cosh 2 « et sinh 2 « auront tous les deux pour déri
vée 2 cosh « sinh «, en sorte que leur différence sera invariable et
égale à sa valeur pour « — o (alors que le cosinus vaut i et, le sinus,
zéro). Ainsi, la relation (16) [p. 58] sera remplacée par celle-ci
(36) cosh 2 «— sinh 4 M = i,
qui montre que la différence entre le cosinus et le sinus, égale à i
pour u — o, s’atténue à mesure que « grandit; car ces deux fonctions
croissent alors toutes les deux sans que l’écart existant entre leurs
carrés augmente.
De même, quand la différence « — v sera constante, les expressions
cosh u cosh v — sinh u sinh v et sinh« cosh v — cosh « sinh v auront
leurs dérivées milles et garderont constamment leurs valeurs relatives
au cas où v = o et où u vaut la différence donnée « — ç ; de sorte que
les formules (17) et (18) [pp. 7* et 8*] subsisteront, à part le change
ment de signe du dernier terme dans la première. Et, en mettant — v
au lieu de v, il viendra, pour tenir lieu des formules (19) [p. 8*],
^ ( cosh ( « -+- v) = cosh « cosh v -h sinh « sinh v,
l sinh (u -4- v) — sinh u coshu -H cosh« sinhp.
On en déduirait des formules analogues à celles de la Trigonométrie
pour cosh2 u, sinh 2 u, cosh — , sinh —, . . ., et même pour la tangente
hyperbolique de la somme de deux arcs (rapport du sinus hyperbo
lique de cette somme à son cosinus hyperbolique, comme on verra
bientôt).
Les propriétés (36) et (37) se vérifient d’ailleurs directement en
substituant à cosh«, sinh«, coshc, sinhc, et à cosh(« + c),
sinh («-i-c),leurs valeurs sous forme finie -|(e" + e~ № ),\{e u —e~"),
L’effecluation des multiplications indiquées montre aisément l’égalité
des deux membres dans chaque formule.