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Tngonomélrie
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sinus hyperbo-
comme on verra
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, à cosh(« + i')t
),!(«•—C - ")» ••••
ii-émenl l’égalité
LEUR DÉCOMPOSITION EN FACTEURS, ETC. 3i*
Par suite, la relation symbolique (20) [p. n*] deviendra beaucoup
plus simple, vu qu’on n’aura pas à s’y préoccuper de changements de
signe, et elle pourra s’écrire
cosh( u -1- v -H ...) -f- sinh( u H— v -4-... )
= (cosh u -+- sinh n)(cosh v 4- sinh v). ..,
où il suffira de grouper, dans le produit des facteurs du second
membre, d’une part, les termes qui auront en facteur un nombre pair
de sinus, pour en faire l’expression du cosinus hyperbolique de la
somme u ■+■ v -+-..., et, d’autre part, les termes affectés d’un nombre
impair de facteurs sinus, pour en former l’expression du sinus hyper
bolique de « + En conséquence, les cosinus et les sinus des
multiples d’un arc seront encore exprimés par les formules (22)
[p. 11*], mais où tous les termes auront le signe + ,
Enfin, les relations (29) [p. 27*], en y faisant z = x' 2 , donneront
évidemment, si l’on multiplie la seconde par x,
4^ 2 ]
li' 2 I) 2 TC 2 J
Telles sont les expressions du cosinus et du sinus hyperboliques dé
composés en une infinité de facteurs, tous du second degré et essen
tiellement positifs, à l’exception du premier x de la seconde fonc
tion.
Par analogie avec la tangente ordinaire tan g u — - Sl n u - et avec la
0 0 COSii
cotangente ordinaire cot u — on appelle tangente hyperbo
lique le rapport du sinus hyperbolique au cosinus hyperbolique et,
cotangente hyperbolique, l’inverse. On a donc, notamment,
(4o)
tangh u —
sinhiz e u —e~ a
coshii e u -+- e~ a
u u 3
I 1.2.3
u 2
1.2
La dérivée du quotient constituant le second membre est, d’après une
... cosh 2 ii — sinh 2 M .... . . 1
regie du n° 11, r-r > c est-a-dire, simplement, tt—? si
& ’ cosh 2 u ’ 1 ’ cosh 2 u
l’on tient compte de la relation (36). Ainsi, une tangente hyperbolique
a pour dérivée l’inverse du carré du cosinus correspondant,
tout comme une tangente ordinaire. Cette fonction, la même pour