TANGENTES ET COTANGENTES HYPERBOLIQUES. 
ce— O que la tangente ordinaire et ayant de plus à ce moment la même 
dérivée que celle-ci, varie donc, comme elle, dans le même sens que 
sa variable, puisque les dérivées de l’une et de l’autre tangente sont 
essentiellement positives. Mais, à l’inverse de ce qui arrivait pour la 
tangente ordinaire, qui prenait, de u —— - à u — -, toutes les valeurs 
entre — oo et -h oo, elle ne croît que depuis — i jusqu’à -h i quand sa 
variable grandit de —oo à + oo. On le voit le plus simplement pos 
sible en observant, d’une part, qu’elle est fonction impaire de a et, 
£li g — Il 
d’autre part, qu’on peut l’écrire ——---- ou bien, en multipliant par 
à l’unité pour la valeur, u — oo, annulant e~ ïu . 
On peut donc prévoir que le rapport de la tangente hyperbolique 
à l’arc, rapport égal à i, d’après le dernier membre de (4o), à la li 
mite u — o, décroîtra de i à zéro quand la valeur absolue de l’arc 
croîtra de zéro à l’infini. Et, en effet, si l’on prend la dérivée de ce 
tanghu . , 
rapport —~, on trouve successivement, abstraction faite du dé 
nominateur positif u * 2 , 
u i _ u—sinhiicosliM (2 u) — sinh(aM) 
cosn 2 M cosfi 2 u 2 cosh 2 u 
expression dont le signe est celui de l’excédent d’un arc sur son 
sinus hyperbolique. Or la formule (34), en série, d’un sinus hyper 
bolique montre que le rapport du sinus à l’arc grandit avec la valeur 
absolue de celui-ci et dépasse l’unité dès que l’arc n’est plus nul. 
Donc l’expression (2 u) ■— sinh(2«) est négative quand u est positif, 
. . tangh u . ,, 
et le rapport -———-, ayant alors sa denvee négative, décroît a me 
sure que u grandit ( 1 ). 
(') H en est autrement du rapport, - anb U -, de la tangente ordinaire à l’arc; ce 
rapport grandit avec la valeur absolue de l’arc u, au moins tant que u n’atteint 
pas un quart, —, de circonférence. En effet, si l’on considère le rapport n& 11 , 
2 u 
égal encore à 1 pour u très petit, et qu’on en prenne la dérivée, celle-ci, abstrac 
tion faite du dénominateur u 2 , est 
u 
u — sin u cos u 
cos 2 u 
( 2 u) — sin( 2 u ) 
cos 2 u 
et elle se trouve positive, comme l’excès de l’arc 2 u sur son sinus.