36* REPRÉSENTATION ET CALCUL DES QUANTITÉS IMAGINAIRES 
rithmes de a -h b\J—i les exposants logp -+- (0 -+- 2nt)\J i, et, tout 
spécialement, le plus simple, logpH-Oy/ i, qui devient log^ quand 
on a b — o, a — p ou quand a + b\J— i se réduit à un nombre posi 
tif p. Pour un nombre négatif, on a a —— p, b — o, 0 = tt : ainsi, 
quand un nombre, de positif, devient négatif en conservant même 
valeur absolue, son logarithme s’accroît de la constante imaginaire 
r.f— i. 
Il n’y a pas Heu d’insister ici beaucoup plus sur ces formules sym 
boliques. Elles montrent, il est vrai, quel puissant instrument de géné 
ralisation et d’unification est le signe f— r, puisqu’il permet de rat 
tacher les unes aux autres et de considérer à la fois plusieurs 
expressions qui, prises deux à deux, ont leurs termes pareils quant à 
la valeur absolue, mais tous positifs dans l’une, alternativement posi 
tifs et négatifs dans l’autre : avantage considérable, d’une part, en 
Algèbre, où l’on peut ainsi attribuer des racines même aux équations 
qui n’en ont pas (de réelles) et soumettre par là toutes les équations 
d’un même degré à des lois communes, d’autre part, dans l’étude des 
fonctions, où l’emploi du symbole y/— i réduit, comme on voit, les 
fonctions circulaires aux exponentielles et fait une seule famille de 
toutes les fonctions transcendantes usuelles. Mais, d’un autre côté, celte 
théorie ne comporte pas dans les transformations de formules, comme 
moyen continuel d’interprétation et de contrôle des calculs, l’usage 
de l’intuition ordinaire, ou vue directe et géométrique des choses, 
qui, dans l’étude de la quantité simple et surtout dans ses ap]3lica- 
tions aux choses physiques, est si naturel à l’esprit et le garantit des 
erreurs tout en le reposant de l’aridité des raisonnements abstraits. 
Ce grave inconvénient est lié au pouvoir même qu’a la théorie en ques 
tion de dépasser l’intuition ordinaire, en déduisant les unes des autres 
des courbes très disparates de formes, par exemple, en faisant résulter 
de l’addition des ordonnées, y — e x ^ 1 , y = ~e~ x '^, de deux loga 
rithmiques, les ordonnées y = cosx d’une sinusoïde ( 1 ). Aussi évi- 
( 1 ) Note sur la représentation géométrique et la théorie générale des quantités 
imaginaires ou complexes. 
On a essayé cependant, et non sans succès, en recourant à une certaine caté 
gorie de figures planes, de donner un sens concret aux expressions imaginaires, 
de manière à permettre d’en suivre les transformations au moyen de construc 
tions géométriques appropriées. Malheureusement, cette représentation des ima 
ginaires ne peut pas avoir la simplicité de la ligne droite à extrémités, l’une 
fixe, l’autre mobile, qui figure toutes les quantités réelles entre — co et oc, et bien