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CALCUL DES QUANTITÉS COMPLEXES,
préparatoire aux applications physiques, l’emploi des expressions ima
ginaires, dussé-je pour cela, une fois ou deux, allonger de quelques
phrases les démonstrations.
La rapidité avec laquelle nous sommes parvenus aux expressions
de cos mu et de sin/nti montre cependant qu’il existe des cas où cet
nières fondamentales, poux' fournir une troisième biradiale ; ou bien, ces bira-
diales étant AOB, AOC {fig- 4h on f ait coïncider leurs premiers côtés, OA, en
x'emplaçant les seconds, OB, OC, par la diagonale OD dn parallélogramme con
struit sur ces côtés, de manière à obtenir comme résultat de l’opération la bii’a-
diale AOD; ou bien, les deux biradiales étant (fig. 5) AOE, EOF, on fait coïncider
le premier côté, OE, de la seconde (grâce à une variation simultanée des deux
côtés OE, OF dans un rapport convenable) avec le second côté, OE, de la pre
mière, ce qui donne la biradiale AOE. La premièi’e opération devenant une simple
addition algébrique lorsque le pai’allélogi’amme s’aplatit infiniment, c’est-à-dire
quand les deux biradiales AOB, AOC sont de la même espèce, il est naturel de
l’appeler addition dans tous les cas. De même, la deuxième opération donnant,
quand la biradiale EOF est numérique, une biradiale de même espèce que la pre
mière biradiale AOE et égale à celle-ci multipliée algébriquement par la gran-
OF
deur de la seconde, on l’appellera multiplication dans tous les cas.
Gela posé, si l’on considère (fig. 6) la biradiale AOG rectangle (c’est-à-dire
ayant son angle AOG droit) et que, après lui avoir
Fig. 6. donné une valeur égale à i ou avoir pris OG = OA, on
la multiplie par elle-même en la transportant en GOG',
le carré obtenu sei’a la biradiale numérique AOG', dont
la valeur est —i. La notion de biradiale permet donc
d'étendre assez le sens de l’opération appelée multi-
~ . plication, pour que le nombre — i y admette une ra-
A cine carrée parfaitement concrète ou susceptible d’être
construite, qui est toute biradiale rectangle à côtés
égaux : mais cette racine se trouve d'une autre espèce que son carre — i, et voilà
pourquoi on ne pouvait la rencontrer dans une séide de quantités simples, ne dif
férant les unes des autres qu’en plus ou en moins. La biradiale AOG aura donc
pour expression analytique y —i, et, si, G se déplaçant perpendiculairement à
OG
OA, le rappoi’t — acquiert une valeur quelconque b, positive ou négative, cette
biradiale, devenue b fois plus forte, s’écrii’a b fi—i.
On conçoit maintenant que toute expi’ession de la forme a -+- b\J — i soit l’epré-
