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AVANTAGES DE CERTAINES FORMES IMPLICITES DE FONCTIONS. 45* 
gente n’y tournant que d’une manière continue : propriété capi 
tale, car elle fait de ce lieu géométrique, F(.-r,/)irc, quelque chose 
de complet ou comme un tout naturel, tandis que les diverses expres 
sions correspondantes f{x) de y n’en représentent que des parties, 
délimitées souvent d’une manière artificielle. Par exemple, l’équation 
¿c 2 -t-/ 2 =c exprime immédiatement, en coordonnées rectangulaires, 
que les points {x,y) sont à la distance commune \Jc du centre. Aussi 
définit-elle cette courbe naturelle qu’on appelle une circonférence, 
tandis que les deux fonctions obtenues en la résolvant, y = ± \Jc — ¿c 2 , 
n’en donnent, prises à part, que des arcs, se terminant aux points où 
la dérivée jk' devient infinie, c’est-à-dire à ceux où la tangente est pa 
rallèle à l’axe des y. On ne peut se dispenser d’associer ces deux 
fonctions, autrement dit, de remonter, par l’élimination du radical, à 
une équation ayant comme membres des expressions en x et y partout 
bien déterminées et graduellement variables, si l’on veut constituer 
en son entier la ligne naturelle correspondante. 
Pour démontrer l’importante propriété énoncée ci-dessus, supposons 
d’abord que l’on marque sur le plan, afin de les éviter, les points que 
donne la résolution du système de deux équations à deux inconnues 
¥' x {x,y) = o, F' y (x,y) —o, points, généralement en nombre res 
treint, et isolés les uns des autres, où s’annulent à la fois les deux dé 
rivées partielles de la fonction F. En l’un quelconque d’entre eux, 
F(x,y) prend une certaine valeur, et il faudrait que la constante c 
eût reçu précisément cette valeur pour que la courbe qDroqDosée y 
passât. Si donc on excepte quelques-unes des courbes en nombre illi 
mité qu’exprime, suivant la valeur attribuée à la constante, l’équation 
F(x,y) =c, il n’arrivera, en aucun endroit des autres, que les deux 
... , c/F c/F , , , . „ . 
denvees -y- , -y- s annulent a la lors. 
dx dy 
Cela posé, à partir d’un quelconque, M(#, jOtp.46*], de leurs points, 
imaginons que l’on se rende à un point voisin {x h- Ax] y-j~ Ay) du plan, 
en parcourant ainsi la droite de jonction de ces deux points, définie 
en direction par le rapport des deux accroissements correspondants 
Ay, Ax des coordonnées, et du même ordre, en grandeur, que le ra 
dical \JAx^ Ay 2 . Le long de cette droite, la fonction F variera, d’après 
la formule (4) [p- 82], de la quantité 
où e et z v s’évanouissent avec \/Ax' 2 -\- Ay 2 , quantité réductible, sauf