46* AVANTAGES D’UNE CERTAINE FORME IMPLICITE DE L’EQUATION DES COURBES
erreur relative insignifiante, à ^ Ax + ^¡- Av, tant que ne se neutrali
seront pas sensiblement les deux termes principaux ^ kx, ~ Aj, dont
l’un au moins aura son coefficient F^. ou F y. different de zeio. Or cette
neutralisation approchée n’a lieu que pour les rapports — définissant
des directions très voisines de celle qu’exprime la valeur de y' donnée
Fig. 4-
par l’équation (n) [p. 91]. Si donc on mène par le point M la droite
T'T qui a r pour coefficient angulaire, et puis deux autres droites
A'A, B'B faisant avec elle un certain angle .très petit, d’autant plus
voisin de zéro que les points (x 4- Lx, y -+- Ay) s’éloigneront moins
r/F
de M, on pourra prendre simplement AF
clx
dy
Ay pour tous
ceux qui seront extérieurs aux deux angles AMB, A'MB'. Ainsi AF y
change simplement de signe avec Lx et Ay, ou en deux points symétri
quement placés par rapport à M ; et la fonction continue F (x,y), égale
à c en M, est, par exemple, plus grande que c dans tout l’espace
B'MA, moindre que c dans tout l’espace opposé A'MB.C’est dire que,
tout près de M,le long de chemins comme BA, A'B' perpendiculaires
à T'T, elle passe une fois au moins par la valeur c, en un certain
point P ou P'. Mais elle n’y passe qu’une fois; car, pour de mêmes
valeurs de kx et de Ay, celles de Af restent sensiblement pareilles
quand on part de divers points (x, y) peu distants les uns des autres,
vu que les facteurs
dF dF
dx ’ dy
sont des fonctions continues; et, par suite,
la fonction F varie très sensiblement le long de BA comme le loni
de
la normale MN à TT', c’est-à-dire en grandissant toujours ou sans pas
ser deux fois par la même valeur. Donc il y a, sur chaque droite comme
BA ou comme A'B', un point du lieu F(x,y) = c, et un seul; ce qui
montre bien que ce lieu comprend, de part et d’autre de son point quel
conque M, une file unique de points. De plus, les deux angles TMB,
T'MA' tendant vers zéro avec MB et MA', les deux cordes MP, MP'
prolongées ont pour positions limites MT et MT'; ce qui signifie que
cette file continue de points affecte partout une certaine direction, ou
