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ET DE CELLE DE LEURS TANGENTES; POINTS SINGULIERS. !\"j* 
est une courbe. Et c’est même une courbe sans jarrets, dont la tan 
gente ne tourne, d’un point (x, y) à un autre, que d’une manière gra 
duelle. Effectivement, trois points très voisins, P, M, P', y sont tou 
jours presque en ligne droite. 
Imaginons que le point {x h- A x,y h- Ay) soit pris, comme M (ce, y), 
sur la courbe F (a?, y) — C, en P par exemple. Alors AF — o, et les 
deux termes principaux ^ Ax, Ay tendent à se neutraliser, quand 
Je radical Ay- décroît : autrement dit, leur somme est nulle en 
comparaison de ce radical dès que Ax, Ay sont des différentielles dx, 
dy, et il en résulte, pour déterminer le rapport mutuel de celles-ci, 
(i3) 
dF 
dx 
dx 
dF 
dy 
dy 
O. 
Or alors la droite de jonction, MP, des deux points (x, y), 
(x -+- dx, y q- dy), se réduit, dans la limite que l’on a en vue, à un 
simple élément rectiligne, indicateur de la direction d’une sécante 
devenue la tangente MT. Si l’on appelle {x ly yy) les coordonnées d’un 
point T mobile sur celle-ci (coordonnées dites courantes), comme, 
d’après une propriété caractéristique de la ligne droite, leurs accrois 
sements x x — x, y x — y éprouvés de M en T seront proportionnels à 
MT et garderont entre eux leur rapport initial, relatif à ce premier 
instant où l’on avait x l — x — dx et y 1 — y — dy, on pourra, dans 
(13), remplacer dx, dy par x l — x, y l — y. 11 viendra, entre x 1 et yy, 
la relation 
(i4) 
dF . . dF . 
2^ (*.--*)+^0'.-,r) = o. 
C’est donc l’équation de la tangente. Effectivement, résolue par 
rapport à y l — y, avec substitution de y', d’après (i i), au quotient 
de — par -J-* elle donne 
dx 1 dy 
(i5) yi—y =y'(xt — x), 
équation de la droite passant par le point {x, y) et ayant le coefficient 
angulaire y' : or cette droite est bien la tangente issue du point de con 
tact (x, y), comme on l’a vu au n° 9 (p. 3i). Mais la forme (i4) vaut, 
à plusieurs égards, mieux que celle-ci (i5), plus simple il est vrai : 
d’une part, les coefficients de x x — x et deyy — y n’y deviennent jamais 
infinis en un point déterminé [x, y)', d’autre part, elle est symétrique 
en x et enyy et n’implique, pas plus que l’équation correspondante 
F [x, y) — c, le choix d’une variable indépendante spéciale. La for-