AVANTAGES D’UNE CERTAINE FORME IMPLICITE DE L EQUATION
mule (i5), au contraire, suppose, comme l’équation y—f{x) de la
courbe, le choix de x comme variable indépendante. Or il n’y a pas,
en thèse générale, de raison pour préférer x à y, ou pour exprimer
la courbe par la fonction y — f\x) plutôt que par la fonction inverse
Nous avons fait, dans ce qui précède, abstraction des points du plan
où les deux dérivées 4^ ? 4- s’annulent à la fois : une étude ultérieure
dx dy
montrera que la coùrbe F{x, y) — c, menée en un de ces points (x,y),
peut ne pas s’y prolonger de part et d’autre suivant deux directions
opposées, ou, encore, qu’elle peut y admettre plusieurs branches, tantôt
croisées, tantôt soudées ou raccordées ensemble. Dans ces divers cas,
le point (x, y) est dit singulier, non seulement pour le distinguer des
autres points, soit ordinaires, soit exceptionnels (sommeLs, points
d’inflexion, etc.), de la courbe qui le contient, mais surtout parce
que sa présence sur une courbe suffit pour la rendre elle-même, comme
on a vu, exceptionnelle et singulière parmi toutes celles qu’exprime
une même équation F (x, y) — c.
42*. — Supériorité d’une forme implicite de l’équation d’une surface sur
sa forme explicite; des points singuliers de certaines surfaces.
Pareillement à ce que nous avons démontré pour une courbe plane,
la forme explicite de l’équation d’une surface est rarement la meil
leure. Toutes les fois que, en chassant, par exemple, des dénomina
teurs et éliminant des radicaux, dût-on, pour cela, associer à la fonc
tion proposée z—/{x,y) d’autres fonctions analogues, on pourra
échanger une équation explicite qui admet pour z ou ses dérivées des
valeurs infinies, contre une autre implicite, de la forme F (x,y, z) = c,
dont le premier membre soit une fonction F des trois variables x,y, z
bien déterminée, finie et continue en tous les points (x, y, z) de l’espace
situés à des distances finies de l’origine, cette forme implicite sera
bien préférable. Et la raison en est encore que, sauf pour quelques-
unes, en nombre restreint, des surfaces représentées par l’équation
F( x, y, z) = c, le lieu des points F (x, y, z) =z c s’étendra, tout au
tour de chacun d’eux, sous la forme non plus d’une simple droite,
mais d’un plan, jusqu’à des distances infiniment petites, sans s’ai-
rêter, par conséquent, ci aucune limite, ni présenter nulle part
aucun croisement ou aucune soudure de nappes multiples de sur
face, non plus qu’aucune arête ou aucun autre changement
brusque de la direction du plan tangent, mais de manière à former
un tout continu et naturel.
