5cr 
DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES SURFACES. 
pendiculaire, dite la normale à la surface F{x, y,z) — c,el que l’on 
tire encore, à partir de M, une infinité de droites formant avec la 
normale un angle constant presque droit, ou avec le plan tangent un 
certain angle très petit, qui pourra être d’autant plus voisin de zéro 
qu’on devra moins s’éloigner de M dans l’espace. Ces droites et 
leurs prolongements dessineront évidemment une surface conique, com 
prenant deux cônes circulaires très ouverts, opposés parleur sommet 
M et ayant pour axe la normale. Cela posé, si l’on passe du point 
{x, y, z) k tout autre point voisin (cv h- îsx, y -h Ay, z h- A^) de l’es 
pace, en suivant une droite dont les coordonnées seront trois fonc 
tions d’une même variable t, la fonction F{x, y, z) croîtra, d’après 
(4) [p. 82], de la quantité 
20) 
AF = 
dF 
dx 
Lx 
dF 
dy 
ST. + £ i AT 
dF 
dz 
Or celle-ci est sensiblement réductible à la somme des trois termes 
dF dF dF cii . . • 
—— \x, -j— Ay, -y- A z, saut dans le cas ou ces termes principaux se 
dcc dy dz 
neutralisent à fort peu près ; ce qui, évidemment, n’a lieu que poul 
ies directions faisant de très petits angles avec le plan tangent (19) et, 
à la limite, situées dans ce plan, d’après la manière même dont son 
équation a été obtenue. C’est dire que, pour les droites assez courtes 
issues de M et comprises à l’intérieur des deux cônes très ouverts 
dont il vient d’être parlé, l’expression de Af peut être réduite à 
d F . dF A d F 
d^ + ~cfy Aj + dz 
A *, 
et change simplement de signe avec t\x, Ay, A z, savoir, quand on passe 
d’un cône à l’autre. Ainsi, la fonction continue F[x, y, z) est plus 
grande que c dans l’un d’eux, plus petite que c dans l’autre; d’où il 
suit qu’elle atteint à un certain moment la valeur c le long de toute 
petite droite normale au plan tangent et joignant les deux nappes de la 
surface conique. Elle n’égale d’ailleurs c qu’en un seul point de chacune 
de ces petites droites ; car, le long de celles-ci, \x, Ay, As passent par les 
mêmes valeurs que le long de la normale issue de M, et AF y varie de 
a -, j, . , . dF dF dF 
meme, vu que les denvees continues^, —, — sont peu diiïerentes 
pour tous les points considérés. La surface possède donc en M une 
nappe et une seule, qui s’étend tout autour dans la direction du plan 
tangent, en ne s’en écartant que d’une manière graduelle. 
Observons enfin qu’il a été fait abstraction, dans ce qui précède, 
des points {x, y, z) de l’espace où se vérifient à la fois les trois équa-