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PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL, DU PREMIER ORDRE 
Il y aura donc lieu, clans le cas de trois coordonnées x, y, z comme 
dans celui de deux, de prendre les valeurs moyennes de la dérivée 
— et de son carré, pour une infinité d’éléments rectilignes ds uni- 
ds 
formément répartis tout autour du point (x, y, z). Et ces moyennes se 
composeront, d’après la seconde formule (21), des produits respectifs 
¿/F dF dF dF* dF* dF* dF dF dF dF dF dF 
de ~dbc ’ dÿ’ dz ’ ° U C 6 dx* ’ dy* ’ dz* ’ 2 dy dz ’ 2 dz dx ’ ' dx dy ’ 
par les valeurs moyennes de a, b et c, ou de a 2 , b 2 , c 2 , bc, ca, ab. Or, 
à mesure que a, b, c deviennent plus nombreux, ou à mesure que Ion 
considère des directions plus voisines les unes des autres, les nombres 
de celles-ci contenues, par exemple, dans deux pyramides très aiguës 
ayant leur sommet en {x, y, z) et symétriques soit par rapport à leur 
sommet, soit par rapport à l’un des plans coordonnés, approchent de 
plus en plus, comme on a vu, de l’égalité, en ce sens que leur rapport 
tend vers la valeur 1. Les cosinus a, b, c changeant simplement de signe 
quand on passe d’une direction à son opposée, il y aura donc sensi 
blement, pour a, b, c, des valeurs négatives aussi nombreuses et aussi 
fortes que les valeurs positives; d’où il suit que les moyennes de a, 
b, c deviendront, à la limite, infiniment petites en comparaison de la 
valeur individuelle la plus grande, c, de ces cosinus. Pareillement, 
deux de ceux-ci a, b, c étant un à un égaux et de même signe, mais, 
le troisième, égal et de signe contraire, pour deux directions symé 
triques par rapport à un des plans coordonnées, il y aura, très sensi 
blement, autant et d’aussi forts produits bc, ca, ab négatifs, que de 
positifs; et la moyenne de chacun de ces trois produits bc, ca, ab sera 
encore nulle à la limite. Enfin, si, après avoir décomposé l’espace 
d’une certaine manière, autour du point (x, y, z), en pyramides très 
aiguës, ayant leurs sommets en ce point, et avoir noté les éléments ds 
placés dans chacune, on fait tourner le réseau, supposé indéformable, 
de ces pyramides (sans déplacer les éléments rectilignes ds), de ma 
nière que celle d’entre elles qui contenait l’axe des x vienne s’orienter 
de la même manière le long de l’axe des y, chaque pyramide dans sa 
nouvelle position comprendra sensiblement, d’après ce qui a été dé 
montré, le même nombre d’éléments rectilignes que dans la première. 
Or la valeur du cosinus b, pour ces nouveaux éléments, sera évidem 
ment celle du cosinus a pour les premiers; d’où il suit que la diffé 
rence entre les carrés a- et les carrés b' 2 sera constamment infiniment 
petite, si l’on groupe convenablement les valeurs de a et celles de b, 
en exceptant peut-être un nombre d’entre elles relativement insigni 
fiant. Cela revient évidemment à dire que la différence entre les valeurs