58* SIGNIFICATION GÉOMÉTRIQUE DU PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL A . 
trouvera d’un certain côté de la première si l’on a pris de positif, du 
côté opposé si l’on a pris de négatif; et ainsi de suite. L équation 
F{x, y, z) = une constante c représente donc ce qu’on peut appeler 
une famille de surfaces. Leurs plans tangents, definis par 1 équation 
(19) [p. 4g*], auront d’ailleurs des directions peu différentes en des 
points (x,y, z) voisins; de sorte que l’espace sera découpé par ces 
surfaces en tranches très minces, à bases sensiblement planes et pa 
rallèles sur de petites étendues. 
Cela jiosé, si, partant d’un point quelconque {x, y, z) de l’une de 
ces surfaces, on s’en éloigne le long de la normale, ou perpendicu 
laire au plan tangent mené en ce point (x, y, z), jusqu’à la rencontre 
d’une surface infiniment voisine, puis qu’on se rende de même de 
celle-ci à la suivante, et ainsi de suite, sans jamais cesser de traver 
ser à angle droit toutes les surfaces que l’on rencontre, les chemins 
suivis de la sorte, et qui seront des lignes courbes (puisque leur direc 
tion changera insensiblement), constitueront ce qu’on appelle les tra 
jectoires orthogonales aux surfaces proposées. Or cherchons la déri 
vée de la fonction F(x,y, z), au point (x, y, z), le long de celle de 
ces lignes qui y passe, supposée parcourue en allant du côté où 
F {x, y, 5) grandit; et appelons, pour fixer les idées, dn, et non ds, 
son élément issu de (x, y, z), afin d’indiquer par la lettre n qu’il est 
normal à la surface F = c. Comme l’expression (26) reste la même, 
au point considéré, quelle que soit l’orientation des axes coordonnés 
rectangulaires, évaluons-l’y en prenant un axe des x positifs parallèle 
à l’élément dn et de même sens. Les deux axes des y et des z seront, 
par suite, parallèles au plan tangent mené en (x, y, z) à la surface 
F=c qui y passe, et les deux éléments rectilignes dy, dz, tirés à 
partir de (x, y, z) dans les sens de ces axes, appartiendront au plan 
ou se trouveront parmi ceux qui, rasant la surface, donnent dF = o. 
Ainsi, sous le radical (26), les deux derniers termes seront nuis. 
Quant au premier, dx n’y sera autre chose que l’élément rectiligne 
considéré dn normal au plan tangent, et, par suite, t/F y désignera la 
différentielle correspondante de F, positive par hypothèse. Le radical 
de (26) se réduira donc à — , et l’on aura 
(27) 
A,F 
dF 
du 
Par conséquent, le paramètre différentiel du premier ordre d’une 
fonction de point égale la dérivée de cette fonction le long de la 
trajectoire orthogonale aux lieux des points pour lesquels la fonc 
tion est constante.