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' l w, ou perpendici
J»squ à la renconte
rtinde de même i
ii' cesser de travet-
icontre, les cheiâ
puisque leur dire-
ion appelle les tn
' cherchons la déti-
. le Ion» de celle de
allant du côté ni
des, dn. et non à
! i lettre n qu'il est
6) reste la même,
s axes coordonnés
• positifs parallèle
y et des ; seront,
;) à la surface
es d)\ dtirés à
endronl au pian
donnent d¥ — o.
:mes seront nuis,
dément rectiligne
dï v désignerali
çpoüièse. le radical
i n rentier erdri^w
notion h
pour bweh W :
COSINUS DIRECTEURS DES NORMALES A UNE FAMILLE DE SURFACES. 5g*
Remarquons d’ailleurs que la direction du chemin suivi dn, normal
en M {oc, y, z) à la surface F {oc, y, z) — c
menéepar ce point, se détermine aisément,
ou que les trois angles a, ¡B, y qu’elle fait
avec les parties positives de trois axes
rectangulaires quelconques des x, y, z
ont leurs cosinus donnés par des formules
très simples.
En effet, ce chemin infiniment petit
dn — MM', sensiblement perpendiculaire
à la surface TT t lieu des points où la
fonction F(x,y,z) prend la même va
leur F -+- ¿/F qu’en M', est évidemment la
projection, sur MM', de tous les éléments
rectilignes, ds = MA, émanés de M en faisant avec MM'des angles
aigus cp, et qui vont aboutir à la surface TT 1; à fort peu près plane
¿/F
dans le voisinage de M'. On a donc dn — ds coscp; et AjF, ou —>
vaut —r , c’est-à-dire le produit de —-— par la dérivée —y- de la
ds coscp 1 coscp L as
fonction F dans le sens de ds, puisque le numérateur d¥ est autant
l’accroissement de cette fonction le long de ds que le long de dn. Or
l’égalité A,F = —— -y- donne
coscp as
(28)
cosep —
AjF
dF
ds
Et cette formule continue à subsister quand l’angle cp devient obtus,
ou quand ce n’est plus l’élément ds, mais un autre de direction op
posée, qui rencontre, en un point A, la surface TTj; car l’élément
proposé ds peut alors être regardé comme faisant suite à ce second
élément rectiligne MA censé parcouru dans un sens inverse ou en ré
trogradant de A vers M, de sorte qu’il suffit, pour passer d’un cas à
l’autre, de remplacer MA par AM, c’est-à-dire, dans (28) où A X F sera
finalement le même en A qu’en M, d¥ par — d¥ et coscp par — coscp,
changements qui se neutralisent.
Les trois cosinus directeurs cherchés cos a, cos[3, cosy, valeurs de
coscp pour trois éléments ds — dx, ch — dy, ds — dz ayant respecti
vement les sens des x, y, z positifs, seront donc, d’après (28),
( 5 -9)
cosa =
1 d¥
Ai F dx ’
cosjB =
1 d¥
A t F dy
1 d¥
C0ST = VF ITz
