LIGNES DE NIVEAU ET LIGNES DE PENTE D’UNE SURFACE.
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ont aussi les projet
és de la surface, sa
nents successifs k
k lignes de niveau MB
mie droit ces lignesi
surface autant f
onales.Cestrajed®
un de la surface, si
mplement. ses Kg*'-
Cela posé, l’un quelconque, MM', de leurs éléments, a évidemment,
pour sa projection mm' sur le plan des xy, l’élément correspondant dn
d’une trajectoire orthogonale, mp, aux courbes F{x,y) = c de ce
plan, et il a pour projection verticale la différence de niveau
AM' ou dz de ses deux extrémités, diffé
rence qui est l’accroissement dF éprouvé
par l’ordonnée verticale F{x, y) de la
surface le long de cet élément rectiligne
dn. Or le rapport ou de la diffé-
rence de niveau en question AM', au che
min correspondant dn — MA parcouru
dans le sens horizontal, représente évi
demment la tangente trigonométrique de
l’angle AMM' que fait avec l’horizontale dn,
on avec le plan des xy, la direction en
(x, y, z') de la ligne de plus grande
pente MP : il est, par définition, la pente ou la déclivité de cette ligne.
Et il mesure aussi la pente analogue de la surface : car la ligne de
niveau MH menée eu [x, y, z), intersection mutuelle de la surface
QMH et du plan horizontal AMH, constitue, sur une longueur infi
niment petite, l’arête de l’angle dièdre formé par le plan tangent en M
et par ce plan horizontal ; d’où il suit que l’angle de l’élément MM'
de la ligne de plus grande pente avec sa projection horizontale MA
sur la face AMH est l’angle plan de ce dièdre, et que, par suite, sa
dz
tangente trigonométrique ^ exprime indifféremment la pente dn plan
tangent ou de la surface et celle de la ligne de plus grande pente;
ce qui justifie le nom de ligne de pente de la surface donné à
celle-ci.
„ ,, . , . n1 dF dF dz dz ,
Quant aux denvees partielles -7— ou — , obtenues en ne
x 1 dx dy dx dy
faisant pas varier soit y, soit x, elles représentent les pentes ana
logues constatées sur la surface, au point {x, y, z), lorsqu’on y marche
à partir de ce point dans des plans parallèles à celui des zx ou à celui
des zy. Ces pentes sont, par conséquent, celles des deux éléments
rectilignes suivant lesquels la surface est coupée, en M, par deux
plans verticaux parallèles aux deux axes rectangulaires, mais d’une
orientation horizontale d’ailleurs quelconque, des x et desjp.
Ainsi, la formule (3o) exprime que, si l’on considère, en un point
d'une surface donné à volonté, les pentes des deux coupes ou sec-
Fig. 12.