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* LA DÉRIVÉE SECONDE MESURE L'ACCROISSEMENT MOYEN DE LA FONCTION, 
De même, le rapport /(' r+ , qu i tend vers /'(a?), y tendra 
encore (et beaucoup plus vile d’après ce qui sera démontré dans ce 
n° 96*), si l’on retranche de x la moitié de l’intervalle total Ax des va 
leurs de la variable qui y figurent; ce qui le change en 
f{x-^\Ax)—f{x — \Ax) 
Ax 
Désignons par 2/1, dans ce rapport, par h, dans l’expression précé 
dente, la différence Ax\ et il viendra, en supposant h infiniment petit, 
(8) 
( f"( x ) = 
< 
( f\ x ) = 
2 F f(x 
A 2 
A) -+-f(x— A) 
2 
f(x -4- A) —fjx —h) ' 
2 A 
Or /( x h- h) et f{x— h) sont les valeurs de la fonction aux deux 
instants où sa variable présente l’écart h de part et d’autre de sa va 
leur actuelle x\ en sorte que leur demi-somme peut être appelée la 
valeur moyenne de la fonction à la distance h de sa valeur ac 
tuelle et, l’excédent de cette demi-somme sur f(x), Vaccroissement 
moyen correspondant de la fonction. Désignons-le par cf(A), et ob 
servons de plus que son expression H- h) h- f{x — A)] —f{x), 
différentiée en y faisant varier h d’une fraction infiniment petite de sa 
valeur, donne 
«p'(A) = \[f\ x -+■ h )—f\ x — A)], 
cp'(A) f(x-\- A)-»- f\x—h) 
h 2 h 
rapport exprimant la dérivée f\x), d’après la seconde formule (8) 
supposée appliquée à f\x) et non plus à f\x). Il vient donc tout à la 
fois, quand h est une variable infiniment petite, 
(9) fi*) 
2 
7d 
cp(A) = 
cp '(h) 
1 V d f{x -4- h) d f{x — A)~l 
2 A 1 dh dh J 
En d’autres termes, la dérivée seconde d’une fonction est le 
produit de Vaccroissement moyen qu’éprouve cette fonction de 
part et d’autre de sa valeur actuelle à une distance infiniment 
<2 
petite h, multiplié par le facteur -j-,; et elle est aussi le rapport, à 
h, de la dérivée de ce même accroissement moyen lorsque h varie 
d’une fraction infiniment petite de sa valeur, dérivée égalant la 
moyenne de celles, par rapport à h, de la fonction donnée, pour les 
deux valeurs x ± h de la variable.