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DE PART ET D’AUTRE DE LA VALEUR ACTUELLE. 65*
La dérivée seconde doit à ces propriétés, qui en font comme la
mesure de la rapidité d’accroissement moyen de la fonction aux
environs de la valeur considérée, d’être, à certains égards, la dérivée
la plus naturelle et de jouer un rôle capital dans les applications de
l’Analyse.
52*. — Courbure d’une courbe plane-
Envoie!uneinterprétation géométrique très importante. Construisons
{fig- i3) la courbe UMV qui, rapportée à un système d’axes rectilignes
Ox, 0/, représente la fonction/ = /{&) ; et soient KK', MM', LL' ses
trois ordonnées infiniment voisines et équidistantes f(x — h), f{x),
f{x + h). La demi-somme des deux extrêmes se trouvera exprimée
par l’ordonnée ¡xM' du milieu ¡x de la corde KL; de sorte qu’on aura
<p(A) = ± p.M, le signe + correspondant au cas où le milieu ¡x de la
corde KL est, par rapport au point M de l’arc, du côté des / positifs,
ou sur la droite MY parallèle à Oy et de même sens, et le signe —
au cas où ¡x est, par rapport à M, du côté des / négatifs, sur le pro
longement de YM. On aura donc, d’après le second membre de (9),
(10)
y" ou /"O)
± 2 ( fx M )
(M'L'Z
Fig. i3.
Or, supposant maintenant les axes rectangulaires, faisons passer,
par les trois points K, M, L de la
courbe, une circonférence DKPL, dont
R désignera le rayon. A la limite,
cette circonférence possède, en M,
même tangente que la courbe / ==f{x),
puisque la direction limite de la corde
commune ML (ou KM) est la même
dans les deux. J’appellerai A l’angle
aigu MTM' de cette tangente MT à la
courbe UY avec l’axe des abscisses.
Menons, dans la circonférence ainsi
obtenue, le diamètre PD qui coupe à angle droit, en [x, la corde KL.
Son segment ¡xP forme avec l’ordonnée ¡xM' et avec une corde infi
niment petite MP, qu’on peut regarder comme étant sur l’alignement
de la tangente MT, un triangle dont l’angle en P a son sinus infini
ment peu différent de 1. La proportion des sinus rz s ^ n ^, y
1 11 fxP smp, MP J
uP
donne donc, sauf erreur relative négligeable, ¡xM = . ..,, ? relation
a 0 smp MP
B. — I. Partie complémentaire.
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