gg* COURBURE D’UNE FAMILLE DE COURBES PLANES ;
fonction F croîtra le long d’une droite infiniment petite dy menée a
partir du point considéré (x, y) dans le sens des y positifs, de sorte
qu’on ait ^ > o ; et l’on devra, au contraire, changer le signe, ou
! ! T , • , dF
prendre pour courbure — y" cos 3 A, quand la denvee sera néga
tive.
Or l’angle aigu A de l’axe des x avec la tangente en (x, y) à la
, . sinA .
courbe proposée a pour sa tangente tngonometnque en valeur
absolue, la dérivée/', c’est-à-dire, d’après la première expression (21)
[p. 110] égalée a zéro, le quotient de — par : par suite, sin A,
c/F 2 ¿/F 2 . . .
cos 2 A sont entre eux comme ? ~dÿi’’ et ^ v * ent > en particulier,
cos 2 A
c/F 2
(AiF) 2 c/y 2
cos 3 A = :
c/F 3
(AiF) 3 c/y 3
le second membre devant être pris en valeur absolue, c’est-à-dire avec
le signe supérieur + ou le signe inférieur — suivant que la dérivée
¿¿F
— sera positive ou négative. La courbure ±/"cos 3 A, où le double
signe correspond justement à la même alternative, deviendra ainsi,
dans tous les cas,
(AiF) 3 \c/y 3
c/F 3
y" 1. Il n’y a donc qu’à évaluer le pro-
/c/F\ 3 ‘ . . [d F\ 2
duit j y"\ ce qui se fera en multipliant par j le troisième
membre, égalé à zéro, de la deuxième relation (21) [p. 110], puis ré
solvant par rapport au dernier terme et remplaçant, dans les autres,
c/F
le produit y' par sa valeur
cherchée,
dF
dx
On trouvera, pour la courbure
y_ l_[Y— dF dF d * F i dF Y ^ 2F 1
23 R ( Ai F ) 3 |_\ dy J dx 2 2 c/y dx dx dy ‘ \c/,r / dy 2
Quand la fonction F(cc, /) a ses dérivées partielles successives
finies pour toutes les valeurs finies des variables, comme il arrive dans
les courbes algébriques [dont l’équation F(x,y) = c peut toujours
avoir pour premier membre un simple polynôme], la courbure n’est
évidemment susceptible de devenir infinie que par le fait de l’annulation
du dénominateur (AjF) 3 , annulation exigeant qu’on ait tout à la fois
c/F c/F . , . . A .
— o, = o, ou que le point {x, y) puisse etre singulier (p. 48 ).
