DES POINTS OU ELLE DEVIENT SOIT INFINIE, SOIT NULLE. 
Donc, en général, les courbes considérées n’ont pas de points où la 
courbure devienne infinie; ce qui confirme l’assertion, démontrée 
autrement au n° 40* (p. 4^*), de la parfaite continuité de direction de 
ces courbes. Mais rien n’empêche que la courbure s’y annule; ce qui, 
vu la valeur toujours finie et sensible du dénominateur (A^^sur 
ces mêmes courbes, se produira à la condition nécessaire et suffi 
sante que le numérateur correspondant égale zéro, ou qu’on ait 
La ligne représentée par cette équation (a3 bis) en x et y est donc 
le lieu des points du plan où les courbes de la famille F (x, y) — c 
ont leur courbure nulle. 
L’expression (28) de la courbure admet encore une autre forme, très 
simple et très symétrique. Pour l’obtenir, rappelons que, si a et p 
désignent, en chaque point (x, y) du plan, les deux angles faits avec 
les x et les y positifs par l’élément dn normal à la courbe F(jt, y)—c 
qui y passe, on a, d’après les formules (29) de la Leçon précédente 
1 d F 1 d¥ . 
(p. 5q*), cosa = —- -y-, cos p —y • Or, si l’on prend la dérivée 
partielle du premier de ces cosinus par rapport à x et celle du se 
cond par rapport à y, en remarquant que la dérivée partielle de 
d F* rfF* , 
-7—r h—7— en x, par exemple, est 
dx l dy 2 1 1 
A,F = 
d cos cc d cos 3 
on trouve pour la somme —jg, 1- —précisément le second 
membre de (28) changé de signe. Il vient donc 
Le cas d’une simple courbe, dont on met l’équation sous la forme 
y —f[x), rentre dans celui de la famille y—f(x)=zc obtenue en 
ajoutant à toutes les ordonnées y une quantité constante quelconque 
c. Il suffit donc de prendre alors F(,zg y) —y — /(¿u); ce qui donne, 
pour les deux dérivées de F en ¿c et y, — f\x) et 1, c’est-à-dire 
— y' et f, la dérivée y' étant censée se rapporter à la courbe propo- 
—y 
sée. Par suite, cosa, cos[3 ont les valeurs 
et sont 
des fonctions de x seul. La formule (24) devient donc, en effectuant