SON EXPRESSION DANS UNE FAMILLE DE SURFACES. 
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donnée F(x,y, z) = c, en substituer toute autre, pourvu que cette 
surface SS* s’y trouve, et, par exemple, imaginant qu’on ait mis 
l’équation de celle-ci sous la forme 5 = /{x, y), considérer la famille 
z — f{x,y) — une constante, dont toutes les surfaces se déduisent de 
la proposée SSj en allongeant ses ordonnées z d’une même quantité 
positive ou négative. Alors F{x, y, z) est remplacé par 5 — /{x, y) et 
’V dx* 
d F d F cl F .-p, df df . / dp dp 
dï’ dF’ 7Ü’ AlF ’ devenus “ ~ iz' A + ne 
dépendent pas de Or, dans la parenthèse du second membre de (34), 
l’élément dn, normal à la surface au point M dont il s’agit, se trouve être 
.... . , . ... -, o? A. F , 
justement dirige suivant les s positifs, de sorte que ^ - n y est autre 
que —-J— e t) par conséquent, s’annule. De plus, AjF s’y réduit à 
ou 1, vu que, les éléments rectilignes dx et dy étant parallèles au plan 
tangent ou appartenant à la surface F(.a?, y, z) =. c, la fonction F ne 
varie pas suivant leur longueur et a ses deux dérivées en x et en y 
, . / dP f clP /*\ , , 
milles. Comme A,F, de son côté, se réduit à — f H—rx )> c’est-à-dire 
• \ dx 2 «y 2 j 
au paramètre différentiel changé de signe, — A 2 z, de l’ordonnée 
z = f (x, y) supposée fonction de point dans le plan des xy, le second 
membre de (34) devient en définitive — A 2 ,s; ce qui, sauf le signe, 
est, d’après la première formule (3o) [p. 71*], le double de la valeur 
(Jpl ^ 
moyenne de la dérivée seconde évaluée, pour le point m{x, y) du 
plan des xy, suivant toutes les droites, comme K m~s, qui s’y croisent. 
Cela posé, voyons ce qu’exprime dans la surface donnée SS! une 
pareille dérivée seconde. Menons par l’ordonnée qui lui est 
normale en M (¿c, y, z), et par la droite en question Km du plan des 
xy, le plan sécant K/ii'M', et traçons la courbe MM', dite section 
normcde, suivant laquelle il coupe la 
surface SS l5 courbe dont la tangente 
MT, étant située dans un plan tangent 
parallèle aux xy, sera elle-même pa 
rallèle à Km. Si nous définissons cette 
courbe par ses ordonnées z, comme 
Mm, abaissées perpendiculairement 
sur sa projection Km' prise pour axe 
d’abscisses s comptées à partir d’une 
origine K quelconque, son équation 
sera évidemment celle de la surface 
z=f{x,y), mais où x et y, coordonnées d’un point, m par 
Fig. 14.