76* RAPPORT DE LA COURBURE MOYENNE D’UNE SURFACE, EN UN POINT DONNÉ, 
exemple, de Km, devront être remplacées par leurs valeurs en fonc 
tion de Ktn— s, valeurs linéaires qui sont, comme on a vu, x — A-(-as, 
y — B + fa, A et B désignant les deux coordonnées de l’origine K des 
abscisses et a, b les cosinus respectifs des angles de Km avec Ox et 
O y. Donc, vu le principe démontré à la fin du n° 52* (p. 67*), la dé 
rivée seconde prise pour le point M[x, y, z ) où s’annule le coef- 
dz 
ficient angulaire ~ de la tangente MT, représente la courbure d’un 
arc infiniment petit MM' de la section normale correspondante. Par 
dï F 
suite, le paramètre différentiel considéré, A 2 z ou 2moy > exprime 
le double de la valeur moyenne des courbures qu’affectent, au 
point M(.2g y, z), les sections faites dans la surface ~P{x, y, z) — c 
par une infinité de plans (normaux) se croisant suivant la normale 
qui y passe et offrant indifféremment toutes les orientations sur le 
plan tangent perpendiculaire. Cette valeur moyenne des courbures 
de toutes les sections normales en un point d’une surface s’appelle la 
courbure moyenne de la surface pour le point en question; on voit 
que c’est une quantité parfaitement déterminée, moitié de l’expression 
(34) changée de signe. 
En résumé, pour toute famille de surfaces dont l’équation a la forme 
F{x,y,z) — c, et dont on demande la courbure moyenne, en un 
point (x, y, z) où l’élément rectiligne dn qui leur est normal fait 
les angles a, p, y avec les x, y, z positifs, on peut poser la formule gé 
nérale 
d cos a d cos 3 d cos y \ 
Courbure moyenne = 
dx dy ' dz 
(36) 
les courbures dont on prend la moyenne s’y comptent positivement, 
d’après la démonstration donnée, quand leur centre est sur le pro 
longement de l’élément normal dn, censé mené, à partir du point 
{x, y, z), du côté où la fonction F ( x,y, z) croît; elles y sont, au con 
traire, comptées négativement quand leur centre se trouve dans la 
direction normale opposée. 
Lorsqu’il s’agit d’une seule surface, dont l’équation est z— f{x,y), 
on peut la regarder comme faisant partie de la famille z —f(x,y) — c, 
obtenue en ajoutant une même constante quelconque c à toutes les 
ordonnées, c’est-à-dire en imprimant à cette surface, dans le sens 
des z, une simple translation plus ou moins grande. Alors les dérivées