n g* THÉORÈME D ? EULER SUR LA COURBURE DE DEUX SECT. NORM. RECT.
courtes ordonnées verticales s = sF(>, /), de manière à représenter
la fonction, proportionnellement, par une surface à pentes très faibles
£A t F(o?,y) : sa courbure moyenne, à l’extrémité de l’ordonnée dont
le pied est le point O, /), égalera, sauf une erreur relative négli
geable, \ A 2 s = | A 2 F, et mesurera, par conséquent, à un facteur
constant près, le paramètre différentiel du second ordre de la fonc
tion donnée. On voit en effet que, dans (87), le radical \J 1 + (A^) 2 ,
ou y'i + s 2 A 2 F(x,y), peut être remplacé par l’unité, et les fonc-
dz dz ¿¿F d¥
lions entre crochets — cos a, — cos ¡3 par , ou par e
avec des erreurs relatives partout de l’ordre de s 2 seulement, c’est-
à-dire avec des erreurs absolues, sur ces fonctions entre parenthèses,
de l’ordre de e 3 , et ayant leurs dérivées respectives en x et y du même
ordre; ce qui donne bien, à fort peu près, \ A 2 z pour le second membre
de (87). La courbure moyenne aurait eu, au contraire, l’expression
non simplifiée (87), en rapport bien moins direct avec A 2 z, si l’on
avait pris z = F (x, y), ou que l’on eût négligé d’atténuer dans le
très grand rapport de 1 à e les pentes A Y z, par la réduction de toutes
les ordonnées à leur e ièine partie.
Mais revenons à une surface quelconque et à la forme simple, A 2 s,
que prend le double de sa courbure moyenne en (x, y, z), quand on
adopte un plan des xy parallèle au plan tangent mené en ce point à
d^z
la surface. Celte expression A % z se compose des deux termes -j-j 1
qui sont les deux valeurs spéciales de —,-f pour les deux sections
CLy^ Cio “
normales parallèles aux axes rectangulaires des x et des y, dont l’orien
tation est restée arbitraire dans le plan des xy. Donc, en tout point
d’une surface, les courbures de deux sections normales rectangu
laires quelconques ont une somme algébrique constante, égale au
double de la courbure moyenne de La surface au même point. Ce
théorème important est dû à Euler, qui l’a trouvé par une tout autre
voie. Il se présente ici, on le voit, comme un cas particulier de l’in
variabilité des paramètres différentiels du second ordre quand les axes
coordonnés changent, de même que, à la fin de la Leçon précédente,
le fait de l’invariabilité analogue du paramètre différentiel du premier
ordre avait fait reconnaître la constance, en tout point donné d’une
surface, de la somme des carrés des pentes des deux sections faites au
même point, dans la surface, par deux plans verticaux rectangulaires
quelconques.
Observons enfin que la formule (36) comprend celle, (a4) [p. 69*],
