THÉORIE DES CHANGEMENTS DE VARIABLES. 
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de la courbure d’une famille F (x, y) — c de lignes tracées dans le 
plan des xy\ car, si l’on imagine la famille de cylindres F (¿c, y) = c, 
lieux des droites parallèles à l’axe des z émanées des divers points 
de ces courbes, chacune de celles-ci F (ce, y) — c, en un quelconque 
de ses points, sera une section normale d’un cylindre et, la droite (ou 
génératrice) correspondante, la section normale rectangulaire : leurs 
courbures respectives étant et zéro, la courbure moyenne du cy- 
lindre ne sera autre chose que 
—=r • Donc le double, 
a R 
R’ 
admettra bien, 
d’après (36), l’expression (24), 
d cosa 
dx 
d cos ß\ 
car on aura 
. . d¥ 
ICI -J- — o ou cos y = o. 
62*. — Des changements de variables. 
Les premières variables qui se présentent dans une question et dont, 
par exemple, l’une, x, est indépendante, tandis que les autres, y, z,.. 
sont fonction de celle-là, ne se trouvent pas toujours les meilleures 
qu’on puisse y considérer, en ce sens qu’il en existe fréquemment 
d’autres, liées par des équations assez simples à x, y, z, . . ., et qui, 
substituées à celles-ci dans les relations que la question comporte, 
rendent ces relations beaucoup plus faciles à interpréter ou beaucoup 
plus propres à faire connaître le mode de variation des quantités in 
connues. Il y a donc lieu de chercher comment les dérivées succes 
sives en x de y, z, . .., dérivées pouvant figurer dans les relations 
dont il s’agit, s’exprimeront au moyen des nouvelles variables, £, rp 
Ç, . . ., qu’on veut substituer à x, y, z, .... 
Distinguons, parmi ces nouvelles variables, celle qui sera censée 
indépendante, \ par exemple. La précédente variable indépendante x 
variant en même temps qu’elle, chacune des deux égalera une cer 
taine fonction de l’autre; pour fixer les idées, j’appellerai cp la fonction 
qui exprimera ainsi x au moyen de \ ; autrement dit, je poserai 
¿r = cp(£), et ç, en tant que dépendant de x, sera la fonction inverse, 
dont la dérivée égale, comme on sait, —• Cela posé, toutes les 
dx a ?(ç) 1 
variables de la question, variant simultanément d’une manière déter 
minée, sont fonction de l’une quelconque d’entre elles, et l’on peut, 
d’une part, les regarder comme dépendant de Sj, tandis que l’on regar 
dera, d’autre part, £ comme dépendant de x. La fonction y, par 
exemple, sera ainsi fonction de x par l’intermédiaire des;; et l’on 
aura, d’après la règle de la différentiation des fonctions de fonction,