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NOUVELLES EXPRESSIONS DES ANC. DÉRIVÉES, DANS LES CIIANG. DE VAR. 
dy — dy dy dy 1 relation signifiant crue la dérivée par rap- 
dx~~ dl dx d\ cp'(0 b 1 11 
port à x de la fonction quelconque y s’obtiendra en multipliant par 
i 
?'(£) 
le facteur la dérivée en \ de cette fonction y. C'est ce qu’expri 
mera encore mieux, en appelant pour plus de brièveté x' la dérivée 
de ce par rapport à la formule symbolique 
d i d d i 
dx ©'(£) d\ dx x' de? 
dans laquelle est laissée en blanc la place de la fonction y, afin qu’on 
puisse y inscrire, ou encore mettre à la suite, telle fonction de x ou 
de \ qu’on voudra. Le problème proposé sera donc résolu pour la dé 
rivée première de toute fonction donnée, si l’on a-soin d’exprimer 
préalablement x au moyen des nouvelles variables t], Ç, . .., de 
manière à pouvoir, dans le second membre de (38), remplacer la déri 
vée ç/(£) ou x' par une valeur ne dépendant explicitement que de ces 
variables ou de leurs dérivées en£, et si l’on a également soin d’ex 
primer de même, dans ce second membre, la quantité différentiée qu’on 
veut éliminer des formedes, en fonction des nouvelles variables £,t), Ç,.... 
dy 
Or la dérivée première > par exemple, obtenue de la sorte, sera 
une nouvelle fonction de \ ou de x à laquelle la règle de différentia 
tion en x exprimée par la formule symbolique (38) ne conviendra pas 
moins qu’à la fonction y elle-même. On aura donc, pour la dérivée 
seconde de y en x, puis pour la dérivée troisième, etc., les expres 
sions, de plus en plus compliquées, 
/ » n c] ly _ 1 â. 
^ ^ dx 2 x' de 
(1 ±\, 
d 3 y i 
d 
i 
d. 
f r dy\ 
\æ' d\ J 
II 
1 
HJ 
d\ 
x' 
d\ 
\x'dl) 
Développons les calculs en désignant, pour abréger, par y', la dé 
rivée de y par rapport à £, et en nous souvenant de la règle de diffé 
rentiation d’une fraction (p. 38). Il viendra, après des réductions immé 
diates, en commençant par la dérivée première et appelant, d’ailleurs, 
x", x'\ .... r", y'", ... les dérivées successives de x et y en £, 
! dy _ y f 
dx x ’ 
d-y x' y" — y' x" 
dx % x' 3 ’ 
! d 3 y _ x' ( x'y'" — y' x'" ) — 3 x" ( x y" — y' x" ) 
f dx 3 x' 3