B. — I. Partie complémentaire.
G
EXEMPLES, AVEC EMPLOI DE FORMULES EN PARTIE SYMBOLIQUES. 8l*
On voit que l’ancienne dérivée d’un certain ordre d’une fonction
exigera généralement, pour son expression au moyen des nouvelles
variables, l’emploi de toutes les nouvelles dérivées successives tant de
cette fonction que de l’ancienne variable indépendante, jusqu’à celles
de l'ordre considéré.
Si l’on prend, en particulier, comme fonction /, la nouvelle variable
indépendante S|, fonction inverse de x = <${£,), on aura pour sa dérivée
d\
première/' la valeur ~ ou i; et, par suite, les dérivées plus élevées
/", y m y . . . seront milles. U viendra
b fonction de j,»
résolu pour [j dé-
» 50« d exprimer
,es V
.remplacer laden
iteraentquede»
element soin dei-
ê ditiérentiéequoi
variables
e de la sorte, sen
d 2 - _ x" d 2 \ 3 x"- — x x-
Telles sont donc les relations existant entre les dérivées successives d’une
certaine fonction x de \ et les dérivées de la fonction inverse £
considérée comme dépendant de x. La première de ces relations nous
redonne la.formule, déjà rappelée tant de fois, de la dérivée première
d’une fonction inverse.
63*. — Exemples de simplifications produites par de tels changements.
de de differentia-
-ne conviendra pas
c. pour la dérivée
etc., les expres-
Yoici trois exemples, dont les deux premiers sont très importants,
des simplifications que peuvent produire dans les formules d’un pro
blême certains changements de variables.
Proposons-nous de trouver l’expression générale des fonctions > de x
auxquelles leur dérivée est constamment proportionnelle, ou qui, en
rl , Qnfr*oc tormoc cq fi cfnn t nnnn t mi foc lac valûnrc ri a ^ o Parmnf ian
dx
; r, par y, la dé- Cette équation peut s’écrire encore, sous une forme en partie symbo-
b\ règle de diffé- lique,
(42)
d
d
l’expression y— a jv signifiant qu’on doit opérer comme si —oc
était une quantité algébrique à multiplier par/, sauf ensuite à ne re
garder, dans le résultat, la multiplication comme effective que pour
le terme —a/, le seul qui puisse être un produit, et à l’interpréter
dans le sens d’une differentiation pour l’autre terme / ou qui
est visiblement une dérivée et ne comporte pas d’autre sens. On voit
