. dx ^ d\ 
de \ égale donc sa dérivée, comme ¡’exponentielle e^; ce qui porte à 
penser qu’elle doit varier de la même manière qu’elle, ou lui rester 
proportionnelle. Le rapport de y à e* ayant ainsi, vraisemblablement, 
une expression très simple, prenons-le pour notre nouvelle fonction rj, 
ou posons y — e^r\. Le produit e^i\, substitué à y dans l’équation, 
avec sa dérivée en \ qui est H- donne, aj>rès réduction, en 
divisant finalement par le facteur e’ (fini et différent de zéro pour 
toutes les valeurs finies de £), ^ = o; et l’équation du problème se 
trouve, de la sorte, tellement simple, que son interprétation devient 
immédiate, puisqu’elle exprime que la fonction r h ayant sa dérivée 
identiquement nulle, peut être une constante quelconque c, mais 
pas autre chose. Donc l’expression générale cherchée de y est ce^, 
c’est-à-dire ce ax . 
Compliquant un peu la question, cherchons, en deuxième lieu, des 
fonctions de x dont la dérivée seconde se compose de deux parties, 
proportionnelles, l’une, à la fonction même y, l’autre, à sa dérivée pre 
mière. Cette seconde partie est 2 a c ~^, si a désigne la moitié de son 
coefficient, et l’autre partie, produit de y par une constante, peut 
toujours se mettre sous la forme — (a 5 dr $~)y, en appelant [3 2 la va 
leur absolue de la somme, négative ou positive, de cette constante et du 
carré a 2 de la précédente a. Le problème est donc défini par l’équa 
tion 
y 
dx 2 
Tx ~ (a2± 
(py 
dx % 
dy „ 
—j- 4- x-y 
dx J 
On peut l’écrire aussi, d’une manière en partie symbolique comme la 
précédente (4^), 
(43) 
d* 
dx 2 
1 d 
j- x + a2 )y ± = o ou 
d_ 
de 
— a J 
■ + ft^y — 
• ■ -