76* NOTE SUR l’aire DES ELLIPSOÏDES MODÉRÉMENT EXCENTRIQUES, EVALUEE
0, o, /• (azimut, hauteur angulaire et rayon vecteur) dans le calcul
des volumes, parfois même dans celui des aires qui les limitent. Les
valeurs des coordonnées rectilignes précédentes x, y, z, en fonction
de celles-ci, 6, cp, r, sont, comme on sait (t. I, p. g4*),
a? =coscp cosO, y = r coso sinO, ^ = /'sin<p;
racine cari’ée (encore par la formule du binôme),
R = i +
43 + 2 A 2 43 A 4
— i3ioA 2 -P i4 2 7^ 4
(1+ A 2 )e s
6 ~ 36o ° l5l20
Or, d’une part, la moyenne arithmétique | ( a + b -+- c ) des demi-axes.
èt
(s)
1 1 a
(1—e 2 ) 2 + (i — A 2 e 2 ) 2 + iJ,
a + b
1 -p A 2 . 1 -+- A- 4
1 ■+■ c ■ “P O ®
est, de même,
5 — 5 A 2
5 A 4
48
(1 +A 2 )gs.
d’autre part, la moyenne géométrique \Jabc, ou [1
développement analogue
(1 + A 2 )e 2 + A 2 e 4 ]
a pour
( Ç ) \/ abc
1 -t- k 2 7 _ P 2 h 2 -t- 7 h* ,
1 h — e 2 -+- — e* •
6 72
10 k 2 + 13 A" 4
1296
(i-t-A 2 )e 5 -P
et la formule (8) devient aisément
4 a h- b -+- c 1 3,
(•5)
R =
3
y aôc
2(l - A- 2 p-A 2
11340
(i-t- A 2 )e 6 — ....
C’est donc avec une erreur de l’ordre de e 6 que le rayon R de la sphère équiva
lente en surface à l’ellipsoïde s’exprime linéairement par les deux moyennes
arithmétique et géométrique des demi-axes a, b, c. Ainsi, la formule approchée
(e;
R =
4 a -4- b
3
^ \jabc
est moins exacte, pour les petites valeurs de e, que la formule analogue ( 82 ) [p. 112]^
c’est-à-dire 2R = 3——fab, propre à donner le contour de l’ellipse par
celui d’une circonférence 2irR, et dont l’erreur atteint seulement l’ordre de e s .
11 est dès lors naturel que cette formule (6) soit plus inexacte aussi pour les
fortes valeurs de e. Quelques calculs numériques, faits dans les hypothèses ex
trêmes h — c, h — a, c’est-à-dire A = 0, A = x, l’ont effectivement démontré.
Pour k = o (ellipsoïde de révolution allongé), la formule (6) donne des résultats
approchés par excès, conformément à l’indication alors fournie (tant que e est
assez petit ) par le signe du dernier terme écrit de (t, ) : l’erreur relative, sur R, y at
teint jC quand e — sin75°= 0,9659, quand e = sin6o°= 0,8660, enfin, seule
ment Info env * r on quand e = sin45°= 0,7071. Pour A' = 1 ( ellipsoïde de révolu
tion aplati), la même formule (6) se trouve approchée par défaut, comme
