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EN FONCTION DES DEUX MOYENNES ARITHM. ET GÉOM. DES DEMI-AXES. 77*
et, portées dans l’équation de la surface qui entoure le volume, elles
la changent en une relation entre 0, cp, r, déterminant, pour chaque
nappe, la grandeur positive r du rayon vecteur en fonction de sa di
rection, définie par les deux angles 0 et cp. Voyons comment, au moyen
de celte relation, pourront s’exprimer le volume considéré et l’aire
qui le limite.
Bornons-nous, pour abréger, au cas simple où il y a ainsi, suivant
chaque droite émanée de l’origine, un rayon vecteur r =/(0, cp) et un
seul. Alors 0, <p étant les deux variables indépendantes, menons les
plans 6 const., qui se croisent suivant l’axe polaire Os (p. 65*,
fig. 43) et les cônes circulaires cp =z const., décrits autour de cet axe,
avec leur sommet au pôle O. Les uns et les autres décomposeront évi
demment tout l’espace en angles solides infiniment aigus, coupés par
les sphères r — const. suivant des rectangles légèrement curvilignes
pareils à celui dont deux côtés (sur la même figure de la p. 65*) sont
MF = /• coscp ¿/Ô et MG = r ¿/cp. Il est clair que les portions de ces
angles solides limitées par la surface constitueront des sortes de sec
teurs infiniment effilés, ou de pyramides obliques, dont on pourra,
sans modifier leur volume dans un rapport appréciable, rendre la
base sensiblement normale aux arêtes latérales, en les transformant
en pyramides quadrangulaires droites.
Si, par exemple, M est un point de la surface du corps, le secteur
qui aura deux de ses faces de longueur finie suivant OMF, OMG, et
les deux autres suivant OGM', OFM', pourra n’être pas distingué de la
pyramide droite comprise entre les mêmes faces et une base tangente
en M à la sphère contenant les arcs MF, MG, base dont l’aire différera
infiniment peu de MF x MG. Le volume du secteur élémentaire con
sidéré sera donc ^ MF x MG x OM = ^ r 3 coscp c/ô d'p.
Quant au fragment presque plan de la surface limite qui se trouve
compris dans le même angle solide, il est clair que ce sera, à fort peu
près, un parallélogramme ayant sa projection, sur le plan tangent
l’indique encore le dernier terme écrit de {r\), alors égal et contraire à ce qu’il
était pour k — o : l’erreur relative y est d’ailleurs ^ quand e = $¡075°, y-^ T quand
e = sin6o° et * 60 environ quand e = sin4à°.
On voit que la formule approchée (9) n’entrainera pas une erreur en plus ou
en moins supérieure aux 0,002 environ du résultat, sur l’aire 4^R 2 de l’ellip
soïde, quand l’excentricité maxima e ne dépassera pas sin4o°, ou quand le rap-
port y
e 2 du plus petit axe au plus grand axe excédera
c’est-à-dire
environ.
