COMPLÉMENT A LA VINGT-HUITIÈME LEÇON. 
SIMPLIFICATION DE CERTAINES INTÉGRALES MULTIPLES, A LIMITES 
VARIABLES, PAR UN CHANGEMENT DE L’ORDRE DES INTÉGRA 
TIONS, ETC. 
307*. — Exemple simple de l’interversion des intégrations, dans un cas 
où les limites sont variables. 
Pour avoir un exemple simple d’une intégrale multiple où l'inter 
version de deux intégrations successives oblige à modifier les limites, 
donnons-nous comme champ d’intégration non jolus un rectangle à 
côtés parallèles aux axes, mais l’une des deux moitiés de ce rectangle 
obtenues en menant la diagonale émanée du sommet qui a les coor 
données x, y les plus petites. En d’autres termes, et l’origine étant 
censée, pour plus de simplicité, transportée à ce sommet, terminons, 
par exemple, notre champ triangulaire, d’un côté, à l’axe des y, repré 
senté par x = o, et à une parallèle aux x, ayant une ordonnée posi 
tive connue y — H, d’autre part, à une droite, d’une équation donnée 
y — mx, issue de l’origine dans l’angle des coordonnées positives ; en 
sorte que y, pour chaque valeur utile de x, ait à croître de mx à H, 
et x, pour chaque valeur utile de y, depuis zéro jusqu’à la valeur 
correspondante ~ de l’abscisse sur la droite limite y — mx. Celle-ci 
atteignant d’ailleurs le côté j = H pour x= les valeurs les plus 
fortes de x et de y seront ^ et H. Si donc f{x,y)dxdy est l’élément 
proposé, l’intégrale double exprimant la somme de ses valeurs dans 
tout le champ triangulaire se présentera, à volonté, sous l’une ou 
l’autre des deux formes 
il y 
r m r U n H pm 
( 8 ) / dx 1 f{x,y)dy= / dy / f{x,y)dx. 
d() d mx d o d q 
Le cas le plus important sera celui où le côté y = H du contour limite 
s éloignera à 1 infini, et où la fonction f{x, y) } qu’on peut regarder 
comme une fonction de point dans le plan des xy, deviendra assez