VINGT-NEUVIÈME LEGON. 
RÉDUCTION ET TRANSFORMATION DES INTÉGRALES MULTIPLES; 
ÉVALUATION APPROXIMATIVE, PAR CES INTÉGRALES, DES RESTES 
DE CERTAINES SÉRIES, ETC., 
313*. — Réduction des intégrales prises dans tout l’intérieur d’une 
surface ou d’un volume à d’autres ne se rapportant qu’aux limites de 
ces étendues, quand une des intégrations s’y effectue immédiatement. 
Lorsqu’une des intégrations indiquées dans une intégrale multiple 
s’effectue immédiatement, comme nous avons vu qu’il arrivait, soit 
pour l’aire d’une surface plane exprimée par une intégrale double 
ffdxdy, soit pour un volume exprimé au moyen d’une intégrale 
triple fffd xdydz, il est évident que la variable par rapport à la 
quelle on fait celle intégration ne reçoit plus, dans le résultat, que 
ses valeurs extrêmes correspondant à chaque système ou combinaison 
de valeurs des autres variables. On peut donc dire qu’une telle inté 
grale, ainsi réduite à un ordre moins élevé, ou dans laquelle disparaît 
un signe f, se transforme en une autre prise aux limites de la pre 
mière, c’est-à-dire telle, que les valeurs simultanées reçues, dans ses 
éléments, par les diverses variables x, y, ..., sont uniquement celles 
qui s’observaient aux limites de l’intégrale proposée. Or, quand celle- 
ci est seulement double ou triple et a, par conséquent, son champ 
d’intégration susceptible d’être figuré au moyen d’une surface ou d’un 
volume, sa valeur, considérée comme une intégrale simple ou double 
avant elle-même pour champ tout le contour ou toute l’aire qui limite 
celle surface ou ce volume, admet une forme remarquable, souvent 
utilisée dans les sciences physico-mathématiques, et qu’il importe de 
connaître. 
Pour la chercher d’abord dans le cas le plus simple, bornons-nous 
à une intégrale double, dont nous écrirons l’élément 
df(x,y) 
dy 
dx dy, 
afin qu’une des deux intégrations, celle qui doit avoir lieu, par 
exemple, en y, s’y effectue immédiatement. Imaginons que x, y 
y désignent les coordonnées rectangulaires des divers points d un 
plan xOy, et que/(¿c, y) exprime une certaine fonction de ces deux