(j2* RÉDUCTION D’UNE INTÉOR. MULTIPLE* IMMÉDIAT. INTÉGRABLE UNE FOIS, 
suite, servent de limite inférieure ou supérieure à quelque bande, 
comme P 0 QoQ) P i> du cl)am P a : mais on P eut l’étendre, sans incon 
vénient, aux éléments ds parallèles à Oy‘, car les termes 
f(æ,y)cos{n,y)ds 
ainsi introduits seront annulés par le facteur cos(«, y), égal à zéro 
quand la normale est perpendiculaire aux y. Ainsi l’intégrale obtenue, 
relative à tout le contour s, sera / f{x, y) cos{n,y)ds; et un raison- 
J S 
nement déjà bien des fois répété prouve d’ailleurs que celle-ci gar 
dera la même valeur, de quelque manière que s’y fasse la division du 
contour s en éléments infiniment petits ds, ou, encore, quel que soit 
le point (x,y) de chacun d’eux pour lequel on évalue le facteur 
f{x,y) cos («,/), fonction déterminée de {oc,y), c’est-à-dire de l’arc s. 
En résumé, si l’on joint à la formule trouvée celle, de même nature, 
que l’on a quand l’intégration immédiatement effectuable s’opère par 
rapport à x, il vient, pour le cas des intégrales doubles, les deux rela 
tions cherchées 
( Í dr! = /Vo> y)c°s( n , x)ds, 
i'io) / * 
I / d '^dy J ' d ° = C ° S ^ n ’ ^ ds ' 
Appliquons maintenant le même procédé à une intégrale triple, dont 
l’élément, pris, par exemple, de la forme dxdydz, se rap 
porte à tous les parallélépipèdes rectangles infinitésimaux dxdydz 
d’un volume donné, que j’appellerai w, et que limitera une surface dé 
signée par a : cette intégrale, où l’intégration en z est immédiatement 
effectuable, pourra aussi, pour des raisons maintenant bien connues, 
s’écrire J' —-¿/ttt, les différentielles dw du champ w d’inté 
gration étant des volumes infiniment petits en tous sens et de formes 
quelconques. Réduisons-les, comme il est permis de le faire, à celles, 
d expression dxdydz, que donnent les trois systèmes de plans 
x ~~ const., y — const., g — const.; et faisons la somme de tous les 
df 
éléments — dx dy dz se rapportant à un même filet prismatique con 
tinu, de section dx dy et parallèle aux z, terminé inférieurement 
et supérieurement à deux éléments da 0 , dz^ de la surface limite du 
volume. Si z 0 , z x sont les valeurs extrêmes correspondantes de z, il