l\!\* EXPRESSIONS ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES INTEGRATES DEFINIES :
pour toute une moitié de l’intervalle, de ses valeurs dans l’autre
moitié. A cet effet, supposant n plus petit que i, multiplions le se
cond membre de (8) par ce qu’il devient quand on y substitue i — n
à n. Si nous associons deux à deux, dans le résultat, les facteursp n ,
p l - n et i ± n, 2 ± n,..p± n, nous aurons
I ,■ P 1 4 P 2 1
| r(n)l'(l-n) = Im. - s • • j’i—, —
+ P
= lim
p-
Or la formule qui permet de décomposer un sinus en ses fac
teurs élémentaires (t. I, p. 27*) montre que le produit indéfini
■ • égale - sn1 _ n • Donc il vient, en définitive,
n 1 —
n-
1 —
(9)
T(n)T( 1 — n) —
relation due à Euler et qui, pour n = £, donne bien r(|) 2 = Tr.
_ . . . , \ -i • . r(n)F(i — n) . ,,
Le produit r(/i)r(i — n), identique a n _ hl _ n ^ exprime, d a-
près la formule (26) de la page 128*, l’intégrale eulérienne de première
espèce B(«, 1 — n) ou / x n ~ x {i — x)~ n dx. Posons, dans celle-ci,
1 \-l
I X — \ I
1^ 2 1
d’où dx — — \ 1 + u n
n
-—1
u n du et x
( '-V 1 -
= \1 ■+■ u n ) u n
; ce qui fait
croître la nouvelle variable u de zéro à l’infini pendant que ¿v va de
zéro à 1. Nous aurons B («, 1 — n) — - I - ciu { ; et la relation (9),
nJ ° 1 + im
multipliée par n, donnera la formule, remarquée également par Euler,
/ \ /r> . . r°° du ni-
(10) (rour n compris entre zéro et 1) /
J Q 1 sir/it:
1 -t- u n
Pour n égal à i et, à plus forte raison, pour n > 1, l’intégrale du
premier membre, dont tous les éléments éloignés grandissent avec n,
est infinie.