ET SON EMPLOI DANS LE DÉVELOPP. EN SÉRIE DE CES INTÉGRALES. 
Il vient, en résumé, pour l’expression asymptotique cherchée de 
l’intégrale, 
On voit que, lorsque n croît de plus en plus, l’intégrale, tout en se 
rapetissant, se concentre autour de x — o. Si donc on lui assignait 
d’autres limites que d= oo, de manière à lui ôter une partie de ses 
éléments, sa valeur, pour n très grand, ne changerait dans un rapport 
appréciable qu’à l’instant où le rétrécissement de son champ, attei 
gnant les valeurs de x voisines de zéro, lui ferait perdre ses éléments 
principaux. Ainsi l’on pourra, par exemple, écrire 
zéro (pour x < o), 
x f( x ) dx 
(12) (quand n est très grand) 
coh"# 
336*. — Développement en série, grâce à ces expressions asymptotiques, 
des intégrales de la forme 
> quand /( x) est une fonction 
proportionnelle à sa dérivée seconde. 
Lorsque /(¿c) est une fonction qui se reproduit, à un facteur con 
stant près négatif ou positif rp: k-, par deux différentiations consécu 
tives, des intégrations par parties ramènent aisément l’intégrale 
03) 
où l’exposant n du dénominateur est supposé positif, à une autre de 
même forme, mais avec son paramètre n accru de deux unités, et 
par suite, de proche en proche, à une dernière, \„ +p , assez élevée 
pour admettre, avec une approximation relative indéfinie, l’expres 
sion asvmptotique (12). L’intégrale proposée \ a se trouve, de la sorte, 
développée finalement en une série, qui provient des termes détachés 
ou intégrés à chacune de ces opérations, et en un résidu ou terme 
complémentaire, contenant ce que l’intégration par parties et les 
dédoublements auront été impuissants à extraire ou à résoudre, mais 
qu’évaluera la formule asymptotique (12). 
Changeons, en effet, dans (i3), n en n + 2, ou considérons I /i4 _ 2 ; et 
introduisons-y sous le signe f, à côté de /{x), le facteur coh 2 .# — sili 2 #, 
égal à 1. L’intégrale se dédoublera en deux, savoir I„ et